利用函数的凹凸性探究切线问题
对于一个函数而言，切线的本质是割线的极限形式.函数在某点处存在切线的前提是在此处可导，因为导数的唯一性，所以函数在任意一点处的切线也具有唯一性.而在平面内过一点作函数的切线，在一般情况下却不止一条.2021年新课标1卷第7题就考察了指数函数的切线条数，在此之后，在各地的模拟试题中涌现出了一系列关于切线条数的问题.
一、试题及分析
例1（2021年新课标Ⅰ卷第7题）若过点（a，b）可以做曲线y=ex的两条切线，则（）.
例2（2022年顺德区青年教师解题比赛第8题）过点P（1，m）（m∈R）有n条直线与函数f（x）=x·ex图象相切，当n取最大值时，m的取值范围为（）.
A.－5e2
C.－1e2
例3（自编）已知函数f（x）=x3－x+1，过点A（0，1）作函数y=f（x）的切线，可做（）条.
A.1B.2C.3D.无数条
分析：这三道例题都在考察曲线切线的条数，区别在于对应的函数不同，所涉及的点与函数的位置也不相同.那么它们有没有什么共性呢？经过笔者的不断尝试，发现切线的条数与函数的凹凸性与渐近线有关联.本文将研究过程展示如下，以飨读者.
二、函数凹凸性及相关性质
1.函数凹凸性的定义及判断方法
设函数y=f（x）在区间I上有定义，如图1，若对任意x1，x2∈I且x1≠x2，有f（x1+x22）f（x1）+f（x2）2，则称函数y=f（x）在区间I内为凸函数；
如图2，若f（x1+x22）
函数凹凸性的判断定理：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导，若在（a，b）内满足：（1）若f″（x）0，则函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数；（2）若f″（x）0，则函数y=f（x）在区间［a，b］上为凸函数［1］.
2.与切线相关的性质
引理1函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），则有f′（x0）
证明：根据拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈（x0，b），使得f′（ξ）
引理2函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在b处的切线lb的交点为A（xA，yA），則有xA
证明：直线lx0的方程为y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），直线lb的方程为y=f′（b）（x－b）+f（b）.联立两直线方程可得点A的横坐标xA=x0f′（x0）+f（b）－bf′（b）－f（x0）f′（x0）－f′（b），根据引理1可得f（b）－f（x0）f′（x0）（b－x0），代入上式可得xA
引理3函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在b处的切线lb的交点为A（xA，yA），则xA的值随x0的变化而变化.
证明：假设存在x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1
引理4函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与函数y=f（x）在a处的切线la的交点为B（xB，yB），则有xBa，且xB的值随x0的变化而变化.
证明同上，此略.
现讨论切线问题，如图3，函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，函数y=f（x）在a，b处的切线la，lb以及函数y=f（x）本身将平面区域分成A，B，C，D，E.设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，显然可知直线lx0不经过区域C和E.
引理5函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x0∈（a，b），设函数y=f（x）在x0处的切线为lx0，设直线lx0与切线la，lb的交点为B（xB，yB），A（xA，yA），则线段AB区域A中.
证明：设直线lx0与切线lb的交点为A（xA，yA），因为函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，所以lx0的斜率小于lb的斜率，所以线段AB位于曲线y=f（x）的下方且位于lb的上方；同理可知线段AB位于曲线y=f（x）的下方且位于la的上方，综上即可得引理成立.
引理6函数y=f（x）在区间［a，b］上为凹函数，对任意x1∈（a，b），x2∈（a，b）且x1
证明：结合上述引理2以及引理5即可得结论成立，过程略.
由此可得到关于切线条数的相关结论：
定理1当点M∈区域C或区域E时，过点M作函数y=f（x）的切线有0条.
定理2当点M∈区域B或区域D时，过点M作函数y=f（x）的切线有且仅有1条.
证明：假设在区域点M∈区域B或区域D时，过点M可作2条函数y=f（x）的切线.与上述引理6相矛盾.
定理3当点M∈区域A时，过点M作函数y=f（x）的切线有且仅有2条.
证明：