高级中学名校试题
PAGE
PAGE1
河北省2025届高三下学期全过程纵向评价（四）数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则的子集个数为（）
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】C
【解析】因为集合，
，
则，所以的子集的个数：，
故选:C.
2.已知为虚数单位，复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
则，
故选：C.
3.已知向量，向量，若与的夹角为，则自然数（）
A.1 B.3 C.5 D.9
【答案】D
【解析】由，可得，
整理可得：，解得或，故自然数.
故选：D.
4.数列的通项公式分别为，在数列中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数占比为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】中的项依次为；
中的项依次为；
与的小于25的公共项为：4，16；
在数列中去掉与的公共项后，小于25的项有：；
其中质数有：，所以小于25的项中质数的占比为，
故选：B.
5.函数与的图象在上的交点个数为（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】由题意作出与的图象：
结合图象可以得到在上两图象有5个交点，
故选：D.
6.已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上单调递增，则在上单调递增，
令，则在上单调递减，所以且，
故选：B
7.已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由球的体积为，可得球半径为，
设圆锥高为，则底面圆半径为，所以圆锥体积，
方法一：设，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以.
方法二：由，
当且仅当时取等号，即时，最大为.
故选：A.
8.已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，作出函数的图象，
易知，
先求与相切时的值，
设切点为，则切线方程为，
将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以，
所以当时，与有两个交点；
当时，与有一个交点，
当时，与没有交点.
易知两函数图象均关于对称，可联立
得，，则，
此时切点横坐标为，
当过点时，，
所以当时，与有两个交点；
当时，与没有交点；
当时，与有三个交点.
综上，若与有四个交点，
则，
故选：D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（）
A.该市高三年级学生的数学成绩的方差是5
B.从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小
C.
D.从本次联考数学成绩中随机调查3名学生成绩，至少有1个成绩低于110的概率为
【答案】BD
【解析】由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的均值为110，方差是25，故A错误；
，
由正态分布的性质可知B正确；
，故C错误；
学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立，
所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为，故D正确.
故选：BD.
10.以下选项正确的是（）
A.若等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的必要条件
B.函数的图像关于对称，则
C.函数在区间上的最小值为
D.数列的前项和
【答案】ACD
【解析】A，若等比数列的公比，则为摆动数列，显然不单调递增，
若等比数列是递增数列，一定有，A正确；
B，因为函数对称轴为，所以，
整理得：，则，B错误；
C，首先且在区间上单调递减，
且在区间上单调递减，在上单调递增，对称轴为，
分析可知最小值在上，此时分子且单调递减，分母单调递增，
此时函数为单调递减函数，所以当时取得最小值为正确；
D，因，
则，D正确.
故选：ACD.
11.已知椭圆，过平面直角坐标系原点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和点，则下列说法正确的是（）
A.四边形一定有内切圆
B.四边形一定有外接圆
C.四边形面积的最小值为
D.四边形周长的最小值为
【答案】AC
【解析】由题意可知，由椭圆的对称性，与关于原点对称，与关于原点对称，
所以四边形是平行四边形，且对角线互相垂直，
所以四边形是菱形，那么对角线就是角平分线，
所以对角线交点即为到四条边的距离相等，所