《人教A版必修一知识点汇总》
第4章《指数函数与对数函数》知识点汇总
4.1指数
1.n次幂的概念
n个相同因子a的连乘积称为a的n次幂,记作a
其中a称为幂的底数,简称底,n称为幂的指数,
即a?a?a????a=a
注：规定（1）a1
（2）当a≠0时，a0
（3）a?n
例计算下列各式：
（1）5×5×5=53=
（3）?32=+3
（5）a32=
（7）?3?2=?1
（9）a10
2.n次方根
（1）n次方根的概念与分类
一般地,如果数x的n次方等于a,即
那么称数x为a的n次方根.
①当n为偶数时,正实数a的n次方根有两个,且它们互为相反数.其中正实数a的正的n次方根用符号na表示（na称为a的n次算术根），负的n次方根用符号?na表示，且na
注：负数没有偶次方根.
例如：∵±24=16，∴16的4次方根为±2，记作
其中16的4次算术根为2，记作416
②当n为奇数时,实数a的n次方根只有一个,且它与被开方数符号保持一致（即正数a的n次方根为正数，负数a的n次方根为负数），这时实数a的n次方根用符号na
例如：∵25=32,，∴32的5次方根为2，记作
∵?25=?32，∴-32的5次方根为?2，记作
③0的任何次方根都是0（∵0n=0
3.根式的概念及性质
(1)根式的定义
形如na（n∈
其中“n”称为n次根号，n称为根指数,a称为被开方数．
（2）根式的性质（据n次方根的定义可得）
①性质1（还原性）：nan=
例如：52=5
②性质2：A.当n为奇数时，na
B.当n为偶数时，nan=
例如：3?23
4.分数指数幂
我们规定，
（1）正数的正分数指数幂：amn
即正数的正分数指数幂满足：①分数指数幂中的底数与根式中被开方数底数相同；
②分数指数幂中指数的分子为根式中被开方数的指数；
③分数指数幂中指数的分母为根式中的根指数.
例如：4
（2）正数的负分数指数幂：a?
例如：8
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：特别地，1的任何次幂都为1，即1
5.无理数指数幂及其运算性质
一般地，无理数指数幂ax(a0,x为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a0)中指数
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于?r，s∈R,a0,b0,都有
ar?as=ar+s
a1=a；（6）当a≠0时，a0
（7）ar
4.2指数函数
1.指数函数的概念
（1）定义
像y=2x
一般地，我们把形如y=ax(a0,且a≠1)的函数就叫做指数函数,其中x
注：①ax
②ax的底数为一个常数
反例：?212=?2没有意义;
③ax的指数为自变量x,且x∈R
④形如“y=a
（2）实例运用
例1判断下列函数是否为指数函数：
（1）y=4x;?（2）y=?4
（3）y=x4;?,底数为自变量x,指数为常数4，它是幂函数.（4）y=4
（5）y=3?2
2.指数函数的图象与性质
（1）底数互为倒数的两个指数函数的图像变换
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
例如利用函数y=2x的图象，根据轴对称性就能画出y=1
（2）指数函数的图象与性质
由以上实例,可以归纳得出指数函数y=ax
（3）实例运用
例1比较下列各题中两个值的大小.
（1）1.72.5
解：∵底数1.71
∴指数函数y=1.7
又∵2.5
∴1.7
（2）0.8?
解：∵底数00.81
∴指数函数y=0.8
又∵?
∴0.8
（3）1.70.3
解：∵底数1.71
∴指数函数y=1.7
又∵0＜0.3
∴1.70
即1
又∵底数00.91
∴指数函数y=0.9
又∵03.1
∴0.90
即1
综上所述，∵1.7
∴1.7
4.3对数
1.对数的概念、分类及其性质
（1）对数的概念
一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),则称x为以
其中a称为对数的底数，N称为真数(且N0).
例如：∵23=8,
再如：∵122=