数学活动【R·数学八年级上册】第十三章三角形

复习导入三条线段首尾顺次相接组成三角形.三条相等线段首尾顺次相接组成______三角形.等边多条线段首尾顺次相接组成_________.多边形

探究新知活动一搭等边三角形取一些等长的磁力棒.用3根磁力棒能组成一个等边三角形，用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？动手试一试.（提示：可以考虑立体图形.）

活动一搭等边三角形用9根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试一试，并于同学交流.（提示：可以考虑立体图形.）

活动二多边形的三角剖分三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？多边形的三角剖分：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形.

活动二多边形的三角剖分如图给出了七边形的三角剖分的几种方法.归纳：七边形的三角剖分能剖分出____个三角形.5

活动二多边形的三角剖分（1）试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖出多少个三角形？n边形呢？四边形结果：四边形的三角剖分剖分出了____个三角形，五边形剖出了_____个，六边形剖出了______个.2五边形六边形34

活动二多边形的三角剖分猜测：n边形的三角剖分能剖出______个三角形.n–2证明：设n边形剖出的三角形的个数是N，由于这些三角形的顶点不在n边形的内部，所以剖分出的各三角形的所有内角和就是n边形的n个内角之和，有N×180°=(n–2)×180°.故N=n–2.已知：n边形的内角和=(n–2)×180°.

活动二多边形的三角剖分（2）将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？四边形：结果：四边形的三角剖分有____种方法.2

活动二多边形的三角剖分五边形：结果：五边形的三角剖分有____种方法.5

欧拉的好奇心：1751年，瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提问：一个n边形的三角剖分有多少种不同方法？他亲手计算出从三角形到九边形的结果并将这些结果告诉了他的朋友匈牙利数学家谢格奈.这开启了一段长达190年的数学研究旅程.拓展：一段跨越190年的数学旅程

1758年，谢格奈得到了递归关系式：Dn=D2Dn–1+D3Dn–2+···+Dn–1D2欧拉归纳地得出：但没有给出证明.拓展：一段跨越190年的数学旅程得出递归关系式：(n–1)!=1×2×3×4×···×(n–1)n!=1×2×3×4×···×n

1941年数学家乌尔班发现并证明了递归关系式：由此证明了欧拉的公式.至此，这段数学历程历时190年画上句点.拓展：一段跨越190年的数学旅程公式的证明：

针对训练请你利用前面的公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数.解：将n=4，5，6，7分别代入式子(n–1)!=1×2×3×···×(n–1)

针对训练六边形的所有14种不同剖分方法(n–1)!=1×2×3×···×(n–1)

三角剖分的现实应用图形建模与多边形剖分.地理信息系统中的区域划分.建筑结构中的稳定性分析.活动二多边形的三角剖分

随堂演练将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形剖分.（1）给定一个任意三角形，将其剖分成3个等积的三角形.（2）给定一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形.

答案：（1）答案不唯一，下面是部分示例：随堂演练

随堂演练（2）答案不唯一，下面是部分示例：

课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？