【R·数学八年级上册】第1课时角的平分线的性质14.3角的平分线

学习目标理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力.

回顾导入我们学过的角的平分线的概念是什么？一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.几何语言：所以OB平分∠AOC.如图，因为

回顾导入在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？方法一：用量角器度量方法二：用折纸的方法在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？方法三：用角平分仪

探究新知角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.探究如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.CABOMNP知识点1角的平分线的作法

研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.图中当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？知识点1角的平分线的作法CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.

反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN.连接OP.知识点1角的平分线的作法ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即点P在∠AOB的平分线上.

知识点1角的平分线的作法思考由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？1先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.2在角的内部作出与这两点距离相等的点.3以角的顶点为端点，作过这个点的射线.

作法：如图，已知∠AOB.(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.知识点1角的平分线的作法ABO(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB的内部相交于点C.MNC(3)作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线.

ABOMN为什么以大于MN的长为半径作弧：知识点1角的平分线的作法以小于MN的长为半径，两弧无交点；以等于MN的长为半径，不易操作.

针对训练已知：平角∠AOB.求作：∠AOB的平分线.ABO【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.

知识点2角的平分线的性质探究如图，OC是∠AOB的平分线，点P1，P2，P3，···在OC上，过点P1，P2，P3，···分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3······.分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3······，你有什么发现？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=P1E1，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3······

知识点2角的平分线的性质CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=P1E1，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3······猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等已知：一个点在一个角的平分线上.求证：验证这个点到这个角两边的距离相等.

知识点2角的平分线的性质CABODEP如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.可以通过证明△OPD≌△OPE得到PD=PE.

知识点2角的平分线的性质CABODEP证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

提炼归纳：证明几何命题的一般步骤1.明确命题中的已知和求证；2.根据