【R·数学八年级上册】第2课时角的平分线的判定

学习目标探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.

情境导入如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？即求：∠AOB内是否存在一点到OA、OB的距离相等，且距离O点500m.转化AOB0200m

探究新知交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？知识点1角的平分线的判定CABODEP猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.求证：验证这个点在这个角的平分线上.

知识点1角的平分线的判定如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.ABODEPC

知识点1角的平分线的判定证明：如图，经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE，∴△OPD≌△OPE（HL）∴∠AOC=∠BOCABODEPC∴点P在∠AOB的平分线上.

如图，∵P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.角的平分线的判定定理知识点2角的平分线的性质几何语言：ABODEPC位置关系数量关系

归纳总结所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线1角的平分线的性质及判定的关系点在角的平分线上角的内部，点到角两边距离相等性质判定2角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.

针对训练1.导入问题：在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？0200m答：集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点P所示.P

针对训练2.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE.教材P51练习第1题CABDEF

针对训练教材P51练习第1题CABDEF证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°.在△ABD和△CED中，∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠CED，AB=CE，∴△ABD≌△CED（AAS）∴BD=ED.又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD平分∠BFE.

知识点2三角形三条角平分线的关系例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等；△ABC的三条角平分线交于一点.CABMNP点P到边AB，BC的距离相等，点P到边AC，BC的距离相等要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上．

CABMNP教材P51例题证明：(1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.EFD

CABMNP教材P51例题(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，∴点P在∠A的平分线上.∴△ABC的三条角平分线交于一点.EFD

知识点2三角形三条角平分线的关系三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.

拓展探究到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？4个P1P4P2P3三角形三个内角的平分线的交点P1；三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点P2，P3，P4.

针对训练教材P51练习第2题如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；点P在∠A的平分线上.CABDEFGP

针对训练教材P51练习第2题CABDEFGPJIH证