24级高一下学期期中考试
数学试题
一?单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.．
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【详解】由两角差的余弦函数，可得，
故选．
2.在复数范围内，下列为方程的根的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解.
【详解】因为，所以，
所以的根为.
故选：B
3.直三棱柱中，，则该棱柱的体积为（）
A.8B.12C.24D.48
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【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式计算得解.
【详解】在直三棱柱中，，
，，
所以该棱柱的体积.
故选：C
4.在中，D为AC的中点，，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，再根据可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，
.
故选：D
5.设的内角的对边分别为，若，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解.
【详解】在中，由及正弦定理，得，而，
则，又，解得，
所以.
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故选：A
6.已知正方形的边长为与交于点，则（）
A.B.6C.D.3
【答案】D
【解析】
【分析】用表示，再利用数量积的运算律求解.
【详解】在边长为3的正方形中，与交于点，
则，，
所以.
故选：D
7.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
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【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令
，解得＜＜，，故单调减区间为（，
），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
8.设复数满足，则（）
A.B.C.2D.1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出
的值.
【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故选：A.
二?多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，则下列复数为纯虚数的是（）
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A.B.C.D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解.
【详解】因为，
则，．
为纯虚数的是，，.
故选：BCD．
10.已知与均为单位向量，其夹角为，下列说法正确的是（）
A.B.
C.D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先计算，，再分别计算和时对应夹角的取值范围，即可
判断四个选项的正误.
【详解】依题意，，.
，等价于，即，即，
即，而，故，即A正确，B错误；
，等价于，即，即，
即，而，故，即C错误，D正确.
故选：AD.
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11.关于球的下列说法正确的有（）
A.若球的体积为，则球表面积也为
B.若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍
C.若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为
D.若一正方体八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可.
【详解】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正
确；
对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误；
对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确；
对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比：
，D正确.
故选：ACD
三?填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知复数在复平面上对应的点在实轴负半轴上，则实数
__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标，进而列式求解.
【详解】复数在复平面上对应的点，
依题意，，所以.
故答案为：1
13.已知满足