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2024年29中特长生考试数学真题
综合部分
一、填空选择题
1因式分解：．
2.已知，，，．求P、Q的值．
3.如图，反比例函数与矩形边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值．
4.如图，，，H为中点，延长线与延长线交于点F，求．
5.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为0,3，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围．
6.在平面直角坐标系中，点P坐标，点M的坐标，当长度最小时，m的值为多少？
二、解答题
7.试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系．
8.如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明．
9.如图，在中，D是边上一点，，面积为S，面积为，求最大值．
数学特长生加试
一、填空选择题
10.a、b、c为三个不同非零实数，已知，，则的值为______．
11.如图，中，，，，为边上的高，、分别为、的内心，则______．
二、解答题
12.如图，内部有一点P，过点P作一条直线分别与、交于A、B两点，使得，尺规作图，保留作图痕迹．
2024年29中特长生考试数学真题
综合部分
一、填空选择题
1.因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，把原式变形为，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
2.已知，，，．求P、Q的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的性质、分式的求值等知识，由题意可得，，根据完全平方公式变形后代入即可求出P的值，把化简后，再进行整体代入即可求出Q的值．
【详解】解：∵，，
∴，，
3.如图，反比例函数与矩形的边交于P、Q两点，与对角线交于点D，其中A、C在坐标轴上，，若的面积为4，求k的值．
【答案】1
【解析】
【分析】该题主要考查了反比例函数几何意义运用，解题的关键是表示出．
由题意得，，设D坐标，则B坐标，得出，即可得面积为，面积为，得出，即可求解；
【详解】解：由题意得，，
设D坐标，则B坐标，
∵点D在反比例函数图像上，
∴，
则矩形面积为，面积为，
∵P在反比例函数图像上，
∴面积为，
∴，
∴，
∴．
4.如图，，，H为中点，延长线与延长线交于点F，求．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，根据等腰三角形的判定和性质得到平分，设，则，由三角形内角和定理和等边对等角得到，再利用三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，H为中点，
∴平分
设，则，
∴
∴
5.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于A、B两点，点C坐标为0,3，P是半径为2的圆C上的动点，Q为中点，求长的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的性质、二次函数的图象和性质等知识，连接，取中点M，连接、、，求出，，，根据直角三角形的性质求出，由三角形中位线定理得到，则Q在以M为圆心，1为半径的圆上，则，即可得到答案．
详解】解：连接，取中点M，连接、、，
当时，，解得，
∴点A坐标，
∴，
∵点C坐标0,3，
∴，
在中，，
∴
∵中点为M，
∴
∵Q为中点，M为中点
∴
∴Q在以M为圆心，1为半径的圆上，
∴
∴
∴
6.在平面直角坐标系中，点P坐标，点M的坐标，当长度最小时，m的值为多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两点间距离公式以及二次函数的性质，由两点间的距离公式可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出当取最小值时的值．
【详解】解：由坐标系中两点间距离公式，
整理得：
当最小时，长度最小，此时．
二、解答题
7.试说明关于x的方程解的情况与实数m的关系．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值方程及一元一次方程的解法是解题的关键；根据题意结合绝对值方程进行分类讨论即可求解
【详解】解：①当时，
若时，无解，
若，，，则，
即时，在有一个解；
②当时，
若时，无解，
若，，，则或；
即或时，在有一个解，
综上，当时，方程没有解；
当或或时，方程有一个解：
当时，方程有两个解．
8.如图，在梯形中，，M、N分别是、中点，试判断、、延长线是否交于一点，并证明．
【答案】交于一点，见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长、交于点P，连接，交于点，由得到，，则，由N为中点得到，则，即为中点，由已知M为中点，即可得到结论．
【详解】解：三线延长线交于一点，
证明如下：延长、交于点P，连接，交于点，
∵，
∴，，