沧衡学校联盟高一年级2023—2024学年下学期期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第5节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（????）
A． B． C． D．
2．已知单位向量满足，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（????）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则
B．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行
4．如图，在等腰梯形中，，，，则（????）
A． B．
C． D．
5．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（????）
A．6 B． C．12 D．
6．如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（????）
??
A． B． C．4 D．
7．如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为4，，四边形的面积为，则（????）
A．4 B．2 C． D．
8．如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（???）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知点，，，则下列结论正确的是（????）
A．是直角三角形
B．若点，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若，则
10．已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（????）
A．若复数满足，且，则
B．若复数满足，则
C．若，则
D．若复数，满足，则
11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（????）
A．
B．若平面平面，则
C．该半正多面体的体积为
D．该半正多面体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．已知向量，.若，，则.
13．如图，某圆台上、下底面的圆周都在球的球面上，且球的球心与该圆台下底面圆的圆心重合，若该圆台下底面圆的半径为13，母线长为，则该圆台的体积为．
14．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则千米．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．
??
(1)证明：平面．
(2)求三棱锥的体积．
16．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值.
17．的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
18．如图，在四棱锥中，，，平面．
(1)证明：．
(2)点在线段上，设，是否存在点，使得平面平面？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并给出证明．
19．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求.
(2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围.
(3)若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值.
1．D
【分析】利用复数的运算法则运算即可.
【详解】.
故选：D
2．C
【分析】根据投影向量公式直接求解即可.
【详解】在上的投影向量为.
故选：C
3．B
【分析】利用线面平行的定义、性质逐项分析判断得解.
【详解】对于A，若直线l上有无数个点不在平面内，则或l与相交，A错误；
对于B，直线与平面平行，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为，
于是，显然在平面内有无数条直线与平行，这些直线都平行于，B正确；
对于C，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行或在这个平面内，C错误；
对于D，若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或是异面直线，