高级中学名校试题
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吉林省长春市2025届高三质量监测（三）数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，
故复数的虚部为.
故选：B
2.“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
3.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则，所以，即.
故选:D.
4.为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200名学生的成绩作为样本进行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间这一组内的学生有40人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（）
A.0.2 B.0.02 C.0.4 D.0.04
【答案】B
【解析】由题意成绩在区间内学生频率为，因此，
故选:B
5.已知一个圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可作图如下：
则，已知，则，
可得，解得，即，
小圆锥的侧面积为，
大圆锥的侧面积为，
所以圆台的侧面积为.
故选：B.
6.在的展开式中，的系数是（）
A.20 B. C.40 D.
【答案】C
【解析】由于，
所以含的项为，
所以的系数为，
故选:C.
7.已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（）
A. B. C.0 D.1
【答案】B
【解析】由函数的图象关于点中心对称可知，
，即，
可得，因此函数有对称轴，
由，可得，
由为上的偶函数且具有对称轴，可得.
故选:B.
8.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意的，则，
所以，在中，，
则，所以，且.
由正弦定理得，，
即，
故选：C.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上单调递增
C.函数的图象的对称轴方程为
D.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】函数的周期为，故A正确；
的单调增区间为，
即，故B错误；
令，则，故C正确；
函数向右平移个单位长度得到，故D错误.
故选：AC.
10.已知数列满足，则下列说法中正确的是（）
A.若，则是等差数列
B.若，则是等差数列
C.若，则是等比数列
D.若，则是等比数列
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，若，
可演绎为，
因此数列不是等差数列，故A选项错误；
对于B，当时，若，可演绎为
因此数列是等差数列，故B选项正确；
对于C，当时，若，可演绎为
因此数列是等比数列，故C选项正确；
对于D，当时，若，可演绎为
因此数列是等比数列，故D选项正确；
故选：BCD.
11.在平面内，存在定圆和定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，关于点轨迹叙述正确的是（）
A.当点与圆心重合时，点的轨迹为圆
B.当点在圆内且不与圆心重合时，点的轨迹为椭圆
C.当点在圆上时，点的轨迹为抛物线
D.当点在圆外时，点的轨迹为双曲线
【答案】ABD
【解析】设圆的半径.
当点与圆的圆心重合时，线段的中垂线与直线的交点即为的中点，
此时，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故选项A正确；
当点在圆内且非圆心时，如图所示.
∵点是线段中垂线与直线的交点，，，
（其中为圆的半径），
∴点的轨迹为椭圆，故选项B正确；
??
当点在圆上时，如图所示，根据圆的性质可知线段的中垂线与直线的交点即为圆心，轨迹为一个点，故选项C错误；
??
当点在圆外时，如图所示.
∵点是线段的中垂线与直线的交点，
，，或，
∴或（其中为圆的半径），即，
∴点的轨迹为双曲线，故选项D正确.
??
故选：ABD.
三?填空题：