高级中学名校试题
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黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，解得或，
则，而，
所以.
故选：A
2.若复数满足，则（）
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】由题设，
所以.
故选：D
3.如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为（）
A.177 B.178 C.179 D.180
【答案】C
【解析】由题设，
所以53%分位数在区间内，设为，则，
所以.
故选：C
4.已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆的半焦距为c，而，又，
则，整理得，因此，
所以的离心率为.
故选：B
5.如图，在正六边形中，点满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设及正六边形的结构特征知，，且，，
又，所以.
故选：B
6.已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（）
A.3 B.4 C.15 D.16
【答案】C
【解析】若为的中点，如下图示，，，
所以
，
由，即圆心，半径，所以，
到的距离，即直线与圆相离，
结合图知，最小，此时.
故选：C
7.如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取圆台下底面圆心，令，连接，显然，
由平面平面，平面，平面，得
则四边形为平行四边形，，
在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6，
由，解得，因此，圆台的高，
所以该圆台的体积为.
故选：C
8.若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】依题意，恒成立，令，
求导得，函数在上单调递增，
，则存在，使得，即，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
由，得，因此，
则，所以的最大整数值为0.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（）
A.直线的倾斜角为 B.的方程为
C. D.在点处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】由点在抛物线上，得，，
对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确；
对于B，抛物线的准线方程为，B错误；
对于C，为焦点，则，C正确；
对于D，由，求导得，则在点处的切线斜率为，
切线方程为，即，D正确.
故选：ACD
10.已知函数，，则（）
A.与的图象存在相同的对称中心
B.与的图象存在相同的对称轴
C.当时，与的图象有5个公共点
D.将的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得的图象
【答案】BC
【解析】函数，
对于A，函数图象的对称中心为，而对任意整数，，
因此与的图象不存在相同的对称中心，A错误；
对于B，函数图象的对称轴为，，
即直线是函数的图象的对称轴，B正确；
对于C，由，得或，而，解得，
则当时，与的图象有5个公共点，C正确；
对于D，，平移后得到的函数解析式为，D错误.
故选：BC
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为，令，则，
即，即，
又是奇函数，即，即，
则，
故A错误；
又，由，令，则，
由，令，则，
令，则，故B正确；
由，两边求导可得，即，故C正确；
由A可知，，两边求导可得，
即，所以是周期为的函数，
又，两边求导可得，
即，令，则，又，
则，令，则，又，
所以，即，
所以，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.记为公差不为0的等差数列的前项和．若，，则________．
【答案】9
【解析】在等差数列中，，则，，
由，得，即，因此，
又等差数列的公差不为0，则等差数列是单调数列，所以.
故答案为：9
13.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为________．（用数字作答）
【答案】24
【解析】把6个小球按2个