高级中学名校试题
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河南省许平汝名校2025届高三下学期二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
所以是方程的根，则，解得，
故，合乎题意，故.
故选：C
2.已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在复平面内，对应的点为，
而关于直线对称的点为，则，所以.
故选：D
3.如果是实数，那么“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件.
4.已知是减函数，则函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为是减函数，且是增函数，
所以，
因为，
又当时，，
所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.
故选：B.
5.若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】法1：因为，
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，
要满足函数在区间内仅有一个零点，
则，，解得.
故选：C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，
而，，
令，解得或；
即在上单调递增，原问题等价于.
故选：C
6.如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，连接，，，
正方体中，可得且，
因为，分别是棱的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，
因为正方体的边长为，可得，，
在中，可得，且，
则，所以的最小值为.
故选：B.
7.张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设表示第个月去公司，则，，
根据题意，得，，
由全概率公式，得
，
即，整理得，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故选：A
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设的半焦距为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，故，.
设，，，
由余弦定理有，
化简得，则，
因为为的角平分线，
所以，又，
所以，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确；
对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确；
对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误；
对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确.
故选：ABD.
10.已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（）
A.
B.
C.的解集为
D.
【答案】BCD
【解析】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称，
又因为为奇函数，所以，
等价于，所以的图象关于点对称，
由，得到，又，
所以，则，所以的周期为，
又当时，，则时，，时，，
时，，的部分图象如图所示.
对于选项A，因为，故选项A错误，
对于选项B，由，得到，又，
所以，则，
所以的周期为，，又，所以，
则，故选项B正确，
对于选项C，由图象知，当时，由得到，
又的周期为，则时，，，故选项C正确，
对于选项D，因为，所以，故选项D正确，
故选：BCD.
11.已知函数，，则（）
A.是一个周期函数
B.，
C.方程在区间上有4个不同解
D.，使得
【答案】BC
【解析】对于A项，因为是偶函数，不是周期函数，是偶函数，也是周期函数，故不是周期函数，故A项错误；
对于B项，因为，，，故B项正确；
对于C项，当时，方程可化为.
当时，，此时满足方程；
当时，此时或满足方程；
当时