高级中学名校试题
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河南省天一大联考2025届高三下学期3月检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，则，故，而，
所以.
故选：B
2.已知复数的虚部是实部的3倍，则（）
A.4 B. C.3 D.
【答案】B
【解析】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得，
所以，.
故选：B
3.已知向量在上的投影向量为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，向量在上的投影向量为，则，
由，得，于是，又，
所以.
故选：A
4.已知是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数是增函数，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5.的展开式中常数项为（）
A. B. C.5 D.10
【答案】A
【解析】展开式的通项，
显然，则当，即时，，
所以的展开式中常数项为.
故选：A
6.已知奇函数的定义域为，且其图象是连续的曲线，若在区间上的值域为，在上的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意有，即.
故选：C
7.有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（）
A.8 B.144 C.120 D.280
【答案】D
【解析】将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入，
相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法，
再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法，
最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法，
由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为.
故选：D
8.从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，这样的数列共有（）
A.4555个 B.4654个 C.5445个 D.5500个
【答案】A
【解析】设等差数列首项为，公差为，则从正整数中取出100个不同的数组成递增的等差数列，
要满足，且，，
对于每一个公差，首项的范围为，共有种情况，
所以满足条件的递增等差数列个数为：，
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（）
A.为偶函数
B.的值域为
C.不存在，使得
D.在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域为R，
，因此为偶函数，A正确；
对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，
因此的值域为，B正确；
对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，
且，因此存在，使得，C错误；
对于D，函数上单调递增，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD
10.已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（）
A
B.
C.数列的最大项为
D.数列的最小项为
【答案】ACD
【解析】设等比数列的公比为.
对于A，由题意得，
则，故A正确；
对于B，由A项，可得，∴，
当时，，
此时可知数列为递增数列，故舍去；
故，∴，故B错误；
对于C，，
当为奇数时，，而指数函数在上单调递减，
∴；
当为偶数时，，而指数函数在上单调递减，
∴，故得，
又∵函数在上单调递增，∴，
当时，时为最大项，故C正确，
当时，为最小项，故D正确.
故选：ACD.
11.已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（）
A.恒关于点中心对称
B.若，则与的准线之间的距离为
C.若上一点的横坐标，则
D.若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对A：对，令，可得，则，
对，令，可得，则，
点关于中心对称的点为，不在曲线上，
故点不是曲线的对称中心，故A错误；
对B：由、，则，
令，解得，则，
由抛物线对称性可知、关于轴对称，故，
则有，解得，
又抛物线为抛物线向左平移个单位而来，
抛物线为抛物线向右平移个单位而来，
故抛物线的准线方程为，
抛物线的准线方程为，
即与的准线之间的距离为，故B正确；
对C：由，则，
则，化简得，故或（舍），
则，由，则该点在上，，