高级中学名校试题
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河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺
数学试题（六）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，若为实数，则（）
A.2 B.5 C.3 D.1
【答案】B
【解析】因为复数为实数，
则，即得，
则.
故选：B.
2.设集合，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，
由，可得，
所以．
故选：A.
3.函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得
，
所以的最小正周期为．
故选：C
4.过原点且与曲线相切的直线有（）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】设切点，因为曲线，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
所以切线有3条.
故选：C.
5.已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由在上单调递增，则值域为，
由对称轴为，
当时，开口向上，则，显然成立；
当时，在上单调递增，且，显然成立；
当时，开口向下，则，则；
综上，.
故选：D
6.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（）
A.±1 B. C. D.±2
【答案】D
【解析】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．
设，，则．
而，所以，
l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，
可求得，可求得l斜率为，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
故选：D
7.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（）
A.1 B.2
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，
因此，，．
记，，则，
因为在上递减，且，，
所以存在唯一的满足，即，
且当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
故是的极大值点，也是最大值点．
此时．
故选：D
8.已知，，则的最大值为（）
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】由
①，
令，，则①式，
所以的最大值为
，，
所以，令，
当，即时，，
此时①式，即，
综上，，时目标式取最大值为1.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知椭圆，则（）
A.的取值范围为 B.若的焦点在轴上，则
C.若，则的焦距为6 D.若，则的离心率为
【答案】CD
【解析】由题设，可得，A错；
若的焦点在轴上，则，可得，B错；
若，则的焦距为，C对；
若，则的离心率为，D对.
故选：CD
10.已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（）
A.97200的素因数为2，3，5
B.97200不同的正因数有96个
C.在小于30的非负偶数中有3个完全数
D.在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为
【答案】AD
【解析】由，即97200的素因数为2，3，5，A对；
由题设，97200不同的正因数有个，B错；
由，，，，，，，
，，，，，
，，，
综上，只有是完全数，共2个，C错；
由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对.
故选：AD
11.已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（）
A.为圆 B.最大值的最小值为
C. D.的最大值为
【答案】ABD
【解析】A项，点到定点距离为定值，
为以为圆心，为半径的圆，故A正确；
B项，由A项，可设，
又，可设，
则，
由，得，
，则，
，当时，等号成立，故的最大值为.
记
则，令得，
则当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，最大值的最小值