高级中学名校试题
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河南省开封市等三地2025届高三二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数z满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，
故选：A
2.抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，
故其准线方程为.
故选：A.
3.在中，，设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，可得，
，整理可得，
.
故选：A
4.已知是等比数列的前项和，且，，则公比（）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由题可知，，故，故.
故选：C.
5.设，则的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误；
对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误；
对于C，，即，故是的充要条件，故C错误；
对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确.
故选：D
6.已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的边长为，
则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得，
所以正方体的体对角线等于，
所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于，
故选:B.
7.将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（）
A.24 B.50 C.72 D.150
【答案】D
【解析】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有；
则不同分法为60+90=150种.
故选：D
8.已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径，
点即双曲线的左右两焦点，故有①，
且因为圆的直径，可得，则有②，
将①式两边取平方，，
解得，故的面积为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】，
对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误；
对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确；
对C，由A知，，则，故C正确；
对D，显然，必有，故D错误；
故选：BC.
10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（）
A.小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处
B.每秒钟小球能往复振动次
C.函数的图象关于直线对称
D.小球从到时运动的路程是
【答案】ACD
【解析】当时，，故A正确；
小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误；
因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由，又，
，
所以小球从到时运动路程是，故D正确.
故选：ACD.
11.设，表示不超过的最大整数，例如：，．若存在实数，使得，同时成立，则下列说法一定正确的是（）
A.若，则
B.
C.的最大值是4
D.的最大值是5
【答案】C
【解析】，则；
，则，即；
，则，即；
，则，即；
；
，则，即.
设，则，即
因，则，即，
因，则，
因，则，
故使得，同时成立的的最大值是4.
故A、B、D错误，C正确.
故选：C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，则________．
【答案】
【解析】.
故答案：.
13.已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________．
【答案】
【解析】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为，
由题意可得，解得，
所以，则，
所以的离心率.
故答案为：.
14.已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________．
【答案】①.②.
【解析】由可得，，即，
所以函数，互为反函数，图象关于直线对称，
因直线互相垂直，
所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，
因为，
令，
则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值3，
此时，
故答案为：
四、解