高级中学名校试题
PAGE
PAGE1
河北省张家口市2025届高三下学期高考模拟（一）
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得，
所以.
故选：C
2.数据2，3，8，5，4，2的中位数和平均数分别为（）
A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4
【答案】D
【解析】将数据2，3，8，5，4，2按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，4，5，8，
所以中位数为；
平均数为.
故选：D.
3.若复数满足（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得，
所以.
故选：C
4.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】任取4个不同的数，且从大到小排列可得所有的情况有种，
第2个数为7的情况有，
故概率为，
故选：D
5.设为钝角，若直线与曲线只有一个公共点，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为钝角，所以，
联立，
当即时，方程只有一个解，
所以直线与曲线只有一个公共点，符合题意；
当即时，
因为直线与曲线只有一个公共点，
所以，
因为，所以，解得或，都不符合，舍去，
所以，所以曲线，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线，
所以，，所以的离心率为.
故选：B
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题，所以直线的方程为，代入得，
设，则，
所以，
所以.
故选：C
7.已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】由①可得，
由②可得，
因此，所以的周期为8，
，
由于，
故选:A
8.在平面直角坐标系中，，，，点分别是外心和垂心，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于关于原点对称，故在轴上，
，则中点为，易知,
因此直线的垂直平分线方程为，
令，则，故,
边上的高所在的直线方程为，故，
故，
，
故，且，
由可得，
由于，因此，解得，
故，解得，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.函数的零点个数可以为（）
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】ACD
【解析】由题函数，
所以函数定义域为关原点对称于，且，
所以函数是偶函数，当时，函数，
设直线与相切于点，直线与相切于点，
对求导得，对求导得，
所以由导数几何意义有，且，，
所以，此时，
，此时，
综上，如图，由指数函数和对数函数图象性质可知：
当时，函数与图象关于直线对称，且均与该直线相交于公共两点，此时函数有两个零点；
当时，函数与图象关于直线对称，且均与直线相切于一点，此时函数有1个零点；
当时，函数与图象关于直线对称，且两图象分布在该直线两侧，无交点，此时函数无零点；
所以，综上可知，函数的零点个数可以为0个或2个或4个.
故选：ACD
10.已知球O的表面积为，点P，A，B，C均在球面上，且，，，则（）
A.球O的半径为2
B.平面截球面所得小圆的面积为
C.点到平面的距离为
D.球体挖去四面体后余下部分的体积为
【答案】AB
【解析】由已知条件，且，，所以三棱锥为正三棱锥.
点P，A，B，C均在球面上，所以球为正三棱锥的外接球，球心为，
设底面三角形的中心为，顶点在底面中的射影为底面正三角形的中心，外接球的球心位于射线上，如图所示：
选项A：设球的半径为，
球的表面积公式为，解得半径，故选项A正确；
选项B：平面是一个等边三角形，边长为3.
等边三角形的外接圆半径为：，
这就是平面截球面所得小圆的半径，
此小圆面积为：，故选项B正确；
选项C：球心到平面的距离，
点到平面的距离为(当球心在线段上时)，
或（当球心位于的延长线上时).
当球心位于的延长线上时，，
于矛盾，舍去.
当球心在线段上时，，符合题意，
所以点到平面的距离为，故选项C错误；
选项D：四面体的体积为：，
其中底面积为等边三角形的面积：，
高为点到平面的距离，
因此：，
球体挖去四面体后余下部分的体积为：
，
但根据选项D的描述，余下部分的体积为，因此选项D错误.
故选：AB.
11.如图，在平面直角坐标系中，曲线为伯努利双纽线，其