高级中学名校试题
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河北省唐山市2025届高考一模数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（）
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】因为（为虚数单位）是纯虚数，
所以，解得.
故选：D
2.已知命题；命题．则（）
A.和都是真命题
B.是假命题，是真命题
C.是真命题，是假命题
D.和都是假命题
【答案】B
【解析】对于命题，因为当时，，故命题是假命题；
对于命题，当时，，故命题是真命题.
故选：B.
3.若等比数列的前项和，则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为等比数列的前项和，
所以当时，，
所以，解得.
故选：A.
4.随机变量．若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为且，
所以，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以
故选：D
5.已知，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】已知，其定义域为，关于原点对称.
且，所以函数是偶函数.
那么.?
当时，.
因为，所以在上单调递增.?
因为，且在上单调递增，所以.
又因为，所以.?
故选：A.
6.已知圆与抛物线交于两点，则（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】由得，，解得或，
∵抛物线中，∴，
∴，即，
∴.
故选：C.
7.在三棱锥中，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设G到平面的距离为，设D到平面的距离为，
由于，故；
又，则，
故，
故，
故选：B
8.对于，且，当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则.
所以；进而，
同理可得：，.
令，则，
所以，，，，.
因为，所以，即.所以
故选：C
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则关于的说法正确的是（）
A.在区间上单调递增
B.是的最大值
C.图象关于点对称
D.把图象向左平移个单位长度得到的图象
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以，
所以函数区间上单调递增，故A正确；
对于B，，所以不是的最大值，故B错误；
对于C，，所以的图象不关于点对称，故C错误；
对于D，将图象向左平移个单位长度得到图象，
即，故D正确.
故选：AD.
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（）
A.的离心率为 B.的实轴长为4
C.的面积为1 D.
【答案】ACD
【解析】双曲线，其渐近线方程为.?
已知过的直线与的一条渐近线平行，则，即.?
又直线上，所以，解得.?
由，，可得，解得.?
离心率，实轴长，选项正确，选项错误.??
联立直线与双曲线方程，将代入双曲线方程可得：
，即，解得，则，即.?
已知，，则，点到轴的距离即中边上的高.?
根据三角形面积公式，可得，选项正确.??
根据两点间距离公式，可得：
，
.?
所以，选项正确.??
故选：ACD.
11.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.当时，在上单调递增
B.函数的对称中心为
C.，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形
D.，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
当时，在上恒成立，即在上单调递增，故A正确；
因为，
所以的对称中心为，故B正确；
由B项可知，函数的对称中心为且也关于对称，
假设与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形，
即与曲线有四个交点，即，
即除去0以外还有四个解，即，所以，
设和与曲线的交点分别为A，C，B，D，
所以，即，无解，假设不成立，故C错误；
设两直线与曲线的切点分别为，，
则，即，所以，
，总存在，使得上式成立，
即，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切，故D正确；
故选：ABD.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在菱形中，__________．
【答案】0
【解析】因菱形的对角线互相垂直，即，故.
故答案为：0.
13.已知，则__________．
【答案】1
【解析】由可得，
所以，
所以.
故答案为：.
14.已知费马数是形如的素数，如第一个费马数为，则__________；正多边形的边数若能写成与个不同的费马数的乘积，，则正多边形就可以用尺规作图．将这种正多边形