高级中学名校试题
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河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，解得，
所以，
所以.
故选：D
2.已知向量，且，则的值为（）
A.4 B. C.4或 D.2
【答案】C
【解析】，
，
两边平方后化简可得或.
故选：C
3.设为等差数列的前项和，若，则（）
A. B. C.12 D.14
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
故选：A
4.设，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可知：
，
又，
所以，
故选：B
5.函数有且只有三个零点，则的取值可以是（）
A.3 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】令得，
当时，，则，令，
所以当时，，为增函数；当时，，为减函数，
所以函数在处取得极大值，且，当时，；
当时，，
则，则时，，为减函数，
当时，；
综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时.
所以的取值可以是.
故选：D
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】由题：，设，
由抛物线定义知：，
又为的重心，所以，所以，
故选：B.
7.已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，，
所以，所以.
设外接圆半径为，则.
又平面，且，设三棱锥的外接球半径为，
则.
所以三棱锥的外接球表面积为：.
故选：D
8.在中，，为边的中点，且，则的最大值为（）
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为中点，所以，
两边平方可得，
已知，，
则，
所以，即，
设，，则，
令，则，代入可得：
，
将其看作关于的一元二次方程，
因为存在，所以判别式，
即，，，，解得，
故的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列选项正确的是（）
A.设是随机变量，若，则
B.已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6
C.二项式展开式中的常数项为
D.设是随机变量，若，则
【答案】AC
【解析】A选项：若，则，A选项正确；
B选项：1，2，3，5，6，6，7，9，这组数据已按从小到大排好序，共有8个数据，
上四分位数是第百分位数，因为，结果是整数，
所以百分位数是这组数据中第6个和第7个数的平均数，为，B选项错误；
C选项：二项式的通项为，
令，解得，展开式的第四项为常数项，
为，C选项正确；
D选项：若，则，
所以中，，
则，D选项错误.
故选：.
10.已知函数，则（）
A.函数最小正周期为
B.函数关于点中心对称
C.函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称
D.函数在上不单调，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】函数，
对于A选项：∵，∴，A选项正确；
对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确；
对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确；
对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确.
故选：ACD.
11.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（）
A.实数为0 B.为定值
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以.
因为函数在上是增函数，在上是减函数，
所以方程有两个解：故A正确；
其中一个根为0，即，
另一根：.
所以，又方程有3个不等实根，它们分别为，，2.
所以.
由为定值，故B正确.
又.
由.
当时，，此时，
所以只有两个根，与有3个不等实根矛盾，所以.
因为，
因为，所以，无法确定，故C错误；
因为，
因为，所以，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分；共计15分.
12.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______．
【答案】
【解析】由题：，
又是第二象限角，所以，
所以，
故答案为：.
13.已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
【答案】2
【解析】如图，设为与渐近线的交点，
由题意：，，
所