高级中学名校试题
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广西壮族自治区桂林市2025届高考第一次跨市联合
模拟考试数学试卷
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知，则的虚部为（）
A. B. C. D.2
【答案】D
【解析】，所以的虚部为2，
故选：D．
2.已知各项均为正数的等比数列，则（）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】，
，
故选：C.
3.巴黎奥运会在2024年7月27日至8月12日举行，在这期间，中国视听大数据（CVB）显示，直播总观看户次超46亿，分天观看户次（亿）分别为：1.88，2.25，2.21，2.35，2.74，2.24，2.59，5.53，4.39，4.22，3.55，2.74，3.64，2.88，2.03，1.62，0.08．则这组数据的第25百分位数为（）
A.2.03 B.2.21 C.2.12 D.3.55
【答案】B
【解析】将数据从小到大排列，0.08，1.62，1.88，2.03，2.21，2.24，2.25，2.35，2.59，2.74，2.74，2.88，3.55，3.64，4.22，4.39，5.53，
，取第五位数据2.21，
故选：B．
4.已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为
又过点，所以直线方程，整理可得.
故选：D.
5.在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为基底，则，，
则，
，
，
所以，
则直线所成角的余弦值为.
故选：A.
6.“，使”的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.或
【答案】C
【解析】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线可知渐近线方程为，
因为，所以，
在中，，，可得.
即，
则
又因为点在渐近线上，所以，解得，可得.
故选：B.
8.函数.若，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
关于对称.
当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，
关于对称在为减函数，
，，
.
故选：A.
二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知的二项式系数和为64，则（）
A.
B.常数项是第3项
C.二项式系数最大值为20
D.所有项系数之和等于1
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确；
对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误；
对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确；
对于D，令则系数和为，故D正确.
故选：ACD.
10.已知数列满足，则（）
A.
B.若，则
C.
D.若数列满足，记为的前项和，则
【答案】ABD
【解析】由递推公式得，，构造新数列得，，
所以是公比为3，首项为3的等比数列，
所以，
所以，故A正确，C错误；
因为，所以数列前项和为：，
所以，故B正确；
由得，，
所以，故D正确；
故选：ABD．
11.已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（）
A.坐标为
B.当时，
C.若，则
D.过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32
【答案】ABD
【解析】对于A，抛物线：，焦点坐标，故A正确；
对于B，设，
由题意知，直线斜率不零，设直线，
，
可推出：，
，
所以，解得，
所以，故B正确；
对于C，，
因为，
所以，，故C错误；
对于D，设，设直线，同理推出，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ABD．
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）.
【答案】
【解析】因为，
所以，，
则在上的投影向量为：.
故答案为：.
13.已知正四面体中，，则该四面体内半径最大的球的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图，过点作平面的垂线，则点是的中心，
正四面体