高级中学名校试题
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北京市石景山区2025届高三一模考试数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为全集，集合，
所以，
故选：B
2.在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（）
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】因为，则复数在复平面内对应的点为，
又复数对应的点坐标为，所以.
故选：D
3.在的二项展开式中,x的系数为()
A.10 B.-10 C.40 D.-40
【答案】D
【解析】∵,
∴当时,.
∴,故选D.
4.在中，若，则（）
A B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为，即，由正弦定理，所以，
所以，又，所以，所以.
故选：A
5.已知x，，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，即，故A错误；
因为，所以，即，故B正确；
因为，而余弦函数在上不单调，
如，故C错误；
因为，由于当时，恒有，故D错误；
故选：B.
6.已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，
又点在上且，则，所以，
即，故A错误，C正确；
又，所以，所以，故B、D错误.
故选：C
7.等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】已知等比数列中，若，设公比为.
根据等比数列通项公式，即，解得.
再根据通项公式求，所以由能推出，充分性成立.?
若，同样根据等比数列通项公式，即，解得，则.
又因为，所以由能推出，必要性成立.
由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件.?
故选：C.
8.经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，当时，，
当时，，则，
则，即.
故选：A.
9.已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】已知圆的方程为，将其配方可得.
可知该圆的圆心坐标为，半径.?
因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知.
已知，则.
在中，根据勾股定理.
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.?
已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为：
.?
因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即
故选：B.
10.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有；
②存在点Q，使得平面；
③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为．
其中正确的命题个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
对于①，，
则，
所以，即，故①正确；
对于②，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
要使平面，则，
则，即，不符合题意，
所以不存在点Q，使得平面，故②错误；
对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点，
过点作在平面内作⊥交于，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以⊥，
因为，、平面，所以平面，
平面截正方体截面为平行四边形，
当与点重合时，为中点，截面面积最大，
此时，，截面面积为，故③对.
故选：C.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.若，则___________.
【答案】2
【解析】，，
所以
故答案为：
12.如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为______
【答案】
【解析】由题意，点的横坐标为，则，
则.
故答案为：.
13.设，，，则______．
【答案】
【解析】由，得，
因为，所以，即，
所以.
故答案为：.
14.已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______．
【答案】①.②.（答案不唯一）
【解析】当时，双曲线为，此时，
则双曲线的渐近线方程为.
双曲线，即，
其渐近线方程为，
要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形，
根据