高级中学名校试题
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北京市门头沟区2025届高三下学期3月一模数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得，又，
所以，即为.
故选：D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知复数对应的点的坐标是，所以.?
将代入，可得.
即：.
故选：B.
3.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件；
对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件；
对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件；
对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件.
故选：A.
4.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
5.已知向量，满足，，且，的夹角为，则（）
A. B. C.5 D.10
【答案】C
【解析】由题意得
.
故选：C.
6.已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（）
A.0 B. C.1 D.
【答案】D
【解析】由圆可知圆心，半径；
根据题意若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切；
因此圆心到直线的距离，解得，
因此的最大值为.
故选：D
7.已知函数，满足，且在区间上具有单调性，则的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为满足，且在区间上具有单调性，
则点和关于点对称，
即为函数的对称中心，
又由函数的零点为，解得，
所以，解得，
当时，，即的值可以是.
故选：B.
8.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且底面是等腰直角三角形，，
所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以,
又因为底面是等腰直角三角形，，
;
设点到平面的距离为，则
,
所以.
故选：C
9.已知函数，若既不存在最大值也不存在最小值，则下列，关系中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，对其求导可得.
因为恒成立，所以在上单调递增.
此时.
，，则，故在上函数值的取值范围为.
当时，，的值域是，所以的值域是.
因为既不存在最大值也不存在最小值，所以且，即且.
选项A：由且，不能推出，例如，时，，所以A选项错误.
选项B：前面已推出，所以B选项正确.
选项C：由且，不能得出，例如，时，，所以C选项错误
选项D：由且不能得出，例如，时，，所以D选项错误.
故选：B.
10.已知函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（）
A.不存在，使得有无数个零点
B.有3个零点的充要条件是
C.存在，使得有4个零点
D.存在，使得有5个零点
【答案】C
【解析】由题意知，是函数的一个零点，
时，，可得，
令，通过GeoGebra得到函数图象
当时；；；
当时；；；
由函数图象可知的值域为.
对于选项A，当时，有无数个零点，故A错误；
对于选项B，有3个零点的条件是，故B错误；
对于选项C，当时，有4个零点;
对于选项D，不存在,使得有5个零点.
故选：C.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.的展开式中的系数为______________.（用数字作答）
【答案】
【解析】对于，则式展开式的通项为.
要得到项，令，解得.
当时，.
所以.
故的系数为.
故答案为：.
12.已知抛物线的焦点为，过点且垂直于其对称轴的直线交于点，，若，则焦点到其准线的距离为_________________.
【答案】2
【解析】抛物线的焦点为，
因为过点