高级中学名校试题
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北京市丰台区2025届高三下学期一模数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，，
∵，∴.
故选：D.
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（）
A.5 B. C.3 D.
【答案】B
【解析】已知复数对应点的坐标为，所以复数.?，则.
故选：B.
3.展开式中的常数项为（）
A.160 B.60 C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，当时，
，故展开式中的常数项为：60
故选：B
4.已知，，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A：
举反例：取，，，，则?，，显然??不成立，因此A不恒成立；
选项B：
举反例：取?，，，，则?，，显然??不成立，故B不恒成立；
选项C：
由于指数函数?是严格递增函数，?和??分别推出??和?，因此??恒成立，因此C恒成立；
选项D：
举反例：取，，，，则?，，显然??不成立，因此D不恒成立.
故选：C.
5.已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（）
A. B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】由已知可得抛物线的准线方程为，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，解得，
故选：C.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
【答案】D
【解析】如图，在正方体中分析选项A、B、C.
A.平面，平面，平面平面，但，A错误.
B.，平面，但平面，B错误.
C.平面平面，平面，，但平面，C错误.
D.取直线的方向向量，直线的方向向量，
∵，，∴分别为平面的法向量，
∵，∴，∴，选项D正确.
故选：D.
7.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，这意味着是数列中的最大值.
因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线.
当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）.
所以由“”可以推出“”，充分性成立.?
若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值.
例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.?
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8.在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（）
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选：C
9.图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（）（参考数据：，）
A. B.2 C. D.3
【答案】B
【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为，
因为最小直径为，可得，即，
又因为主体部分高，上底直径为，下底直径约，
设点，
所以且，
解得，即，
故
故，
故选：B.
10.如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论：
①存在唯一的点，使得，，，四点共面；
②的最小值为；
③存在点，使得；
④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为.
其中所有正确结论的个数为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】对于结论①，取中点为，连接，，，，
因为正方体，为的中点，所以，
所以，，，四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点，
故结论①正确；
对于结论②，因为，求的最小值，即求的最小值，
因为正方体，所以，，，四点共面，
所以与会相交于一点，设为，
此