2025年普通高等学校招生第二次模拟考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．答题时长120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形码．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
2.命题，的否定是（）
A.， B.， C.， D.，
3.设向量，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
4.一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为（）
A. B. C. D.
5.如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（）
A. B. C. D.
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（）
A.38 B.51 C.66 D.83
7.已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.若点关于直线对称的点在圆上，则的值为（）
A.1 B. C. D.2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9.下列结论正确的是（）
A.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，已知，则在犯错误不超过的前提下，认为与相关
B.已知随机变量，若，，则
C.掷一枚质地均匀的骰子两次．事件“第一次向上的点数是1”，事件“两次向上的点数之和是7”，则事件与事件相互独立
D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则一定是9
10.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.函数的值域为
B.函数图象关于点对称
C.若函数在上单调递增，则的取值范围为
D.若，则最小正周期为
11.已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（）
A.数列是等比数列 B.
C.当为奇数时， D.当为偶数时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，为实数，则______．
13.请写出一个同时满足以下3个条件的函数______．
①、，且，都有；②且，使得；③．
14.已知椭圆的左右焦点分别为、，圆与抛物线的准线相切，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，且为抛物线与椭圆的一个交点，若的面积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明．
15.烧麦——在呼和浩特有着深厚的历史底蕴，2024年12月21日，呼和浩特举办了“首届烧麦美食大会”，活动持续至2025年1月3日，期间吸引了数以万计的国内外游客慕名而来．“烧麦美食大会”的举办旨在传承和弘扬烧麦文化，深入挖掘呼和浩特市的文旅资源优势，推动烧麦产业创新与发展，促进文商旅融合，提升城市形象．为了了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式，随机调查了100名游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分）分成了五段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，为进一步了解游客对本次“烧麦美食大会”满意度情况，从分值在，，三组满意度问卷中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记满意度得分在人数为，求的分布列和期望；
（2）已知满意度分值在平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
16.已知抛物线过点．其焦点为，若且．
（1）求值以及抛物线的方程；
（2）过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于与四点，求四边形面积的最小值．
17.已知的内角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角；
（2）若面积为3，点为内一点，且，求的值．
18.如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值