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2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学冲刺卷（一）
本试卷共150分考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A B. C. D.
2.若，则（）
A. B.1 C. D.
3.已知函数且，则（）.
A.. B.. C.2. D.4.
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
5.若，则（）
A. B. C. D.
6.已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（）
A B. C. D.
7.函数与的图象在区间上的交点个数为（）
A.3 B.5 C.7 D.9
8.如图，分别为双曲线的左、右焦点，点都在双曲线上，四边形为等腰梯形，且，，则双曲线的离心率为（）
A B. C.2 D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（）
A.总体每次训练平均耗时1.8小时
B.总体每次训练平均耗时1.75小时
C.总体每次训练耗时的方差为0.28
D.总体每次训练耗时的方差为0.33
10.如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（）
A平面
B.平面平面
C.直线与直线有可能垂直
D.三棱锥的外接球体积为定值
11.如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如：
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
下列的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（）
A
4
4
1
3
4
3
2
1
1
2
3
2
2
1
4
3
B.
4
2
4
3
1
1
1
1
2
4
2
2
4
3
3
3
C.
3
4
4
4
1
3
1
1
2
2
2
2
4
1
3
3
D.
4
4
1
3
4
3
4
1
3
2
1
2
2
1
2
3
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知是椭圆上的动点，，且，则__________.
13.函数的最小值为__________.
14.现从一含10个元素的集合的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有__________种.
四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在中，内角所对的边分别为，且.
（1）证明：.
（2）求.
（3）若为上靠近点的三等分点，作交于点，求.
16.某学校高三年级组织了一场校内知识挑战赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自A类班级，4名学生代表来自B类班级，学生甲是B类班级代表之一.在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛.若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为；若是A类班级代表与B类班级代表比赛，则B类班级代表获胜的概率为.
（1）已知学生甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；
（2）若每两个班级代表各进行一轮比赛，记B类班级代表甲获胜的轮数为，求的分布列与期望.
17.如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
（1）证明：与相交且交点在直线上．
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
18.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.
（1）求抛物线的方程.
（2）证明：直线过定点.
（3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
19.设函数的定义域为.若实数满足对任意的，都