2025年江西省四月适应性联考
暨普通高等学校招生第三次模拟考试
数学试题
本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.本场考试结束后，请监考员将考生的试卷和答题卡一并收回.考生不得在考试信号铃声发出前答题.选择题请用2B铅笔规范填涂，如需修改，用橡皮擦干净再选涂其他答案标号；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡规定的黑色矩形边框区域内认真作答，答题规范，书写清晰.
一?选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）
A. B.
C. D.
3.的展开式中的常数项是（）
A.第673项 B.第674项
C.第675项 D.第676项
4.圆锥中，为圆锥顶点，为底面圆的圆心，底面圆半径为3，侧面展开图面积为，底面圆周上有两动点，则面积的最大值为（）
A4 B. C. D.6
5.气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)：
①甲地：个数据中位数为，众数为；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；
③丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为．
其中肯定进入夏季的地区有（）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
6.已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
7.已知且，则的最小值为（）
A. B. C.1 D.
8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）
A. B. C. D.
二?选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知某品牌汽车某年销量记录如下表所示：
月份x
1
2
3
4
5
6
销量y（万辆）
11.7
12.4
13.8
13.2
146
15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（）
A.销量的极差为3.6
B.销量的60%分位数是13.2
C.销量的平均数与中位数相等
D.若销量关于月份的回归方程为，则
10.设函数，则下列说法正确的是（）
A.是奇函数 B.在R上是单调函数
C.的最小值为1 D.当时，
11.如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（）
A.若，则
B.若，则平面
C.若，则平面
D.若时，直线与平面所成的角为，则
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为_________．
13.已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁?查理?卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.
四?解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.）
15.已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
16.如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点．
（1）已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
（2）点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值．
17.新高考数学多选题6分制模式改变了传统的多选题赋分模式，每题具有多个正确答案，答对所有正确选项得满分，答对部分选项也可得分，强调了对知识点理解和全面把握的要求．在某次数学测评中，第11题（6分制多选题）得分的学生有100人，其中的学生得部分分，的学生得满分，若给每位得部分分的学生赠送1个书签，得满分的学生赠送2个书签．假设每