鹤壁市高中2025届第十二次模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，若，则实数（）
A. B.0 C.1 D.2
2.设函数,则（）
A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
3.用二分法研究函数的零点时，若零点所在的初始区间为，则下一个有解区间为
A. B. C. D.
4.已知实数a，b，c满足，，则a的最大值是（）
A. B. C. D.
5.函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）
A. B.
C D.
6.给出一组样本数据：1，4，，3，它们出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取两个数，则这两个数的和为5的概率为（）
A. B. C. D.
7.已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（）
A. B.2 C.3 D.
8.数列中表示与最接近的整数，则（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.欧拉公式（本题中e为自然对数底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）
A.复数为纯虚数
B.复数对应的点位于第二象限
C.复数的共轭复数为
D.复数在复平面内对应的点的轨迹是圆
10.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（）
A. B.
C. D.
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（）
A.
B.
C.当时，的最大值为
D.曲线在轴左侧所围成区域面积大于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在中，，则的面积为___________.
13.如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条．
14.已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．
15.设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且．
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调区间．
16.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.瑜伽锻炼能够增强身体的柔韧性和平衡性，同时也有助于减轻压力.为了了解人们对瑜伽的喜欢是否与性别有关，某调查机构在一社区随机调查了60人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示.
喜欢
不喜欢
合计
男
10
20
30
女
20
10
30
合计
30
30
60
（1）依据的独立性检验，能否认为人们对瑜伽的喜欢与性别有关联？
附：，其中.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）该社区居民刘女士每天选择在家瑜伽锻炼或去健身房锻炼.刘女士选择在家瑜伽锻炼并完成全部锻炼计划的概率为，未能完成全部锻炼计划的概率为.刘女士对于周一至周五的锻炼方式作出如下安排：周一在家瑜伽锻炼，周五去健身房锻炼；周二至周四，若前一天完成全部瑜伽锻炼计划，当天就继续在家瑜伽锻炼，否则自当天起都去健身房锻炼.设从周一至周五刘女士第一次去健身房锻炼前在家瑜伽锻炼的天数为，求的概率分布列及数学期望.
18.已知双曲线，点到两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
（1）求的方程；
（2）若点都在右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
19.已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成