§6.1,Hausdorff空间
定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果则或者x有一个开邻域U使得,或者y有一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个空间．拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．
定理6.1.1拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包.即定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间．空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．
定理6.1.2设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X是一个空间；（2）X中每一个单点集都是闭集；（3）X中每一个有限子集都是闭集．下面的两个定理表明，空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．定理6.1.3设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．
定理6.1.4设X是一个空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得=x对于任何i≥N成立．定义6.1.3设X是一个拓扑空间．如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，则点x有一个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得U∩V=），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间．hausdorff空间一定是空间，但反之不然．
例6.1.1非Hausdorff的空间的例子．设X是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个空间．然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故．由此易见X必然不是一个空间．
定理6.1.5Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．但在空间中定理6.1.5却可以不成立。作业:P1553.4.5.return