高观点下探寻多边形的内角和与外角和
三角形的内角和是一个重要的几何量，在欧几里得几何学中，三角形的内角和为180度.在证明这一定理的时候，中学教科书［1］采用的方法是这样的：首先过三角形的某一个顶点作与对边平行的辅助线，再利用内错角相等得到三角形的内角和为180度.而内错角相等需要利用欧几里得几何的两条公理：同位角相等和对顶角相等.由此可见，为了证明三角形的内角和为180度，需要两条公理.中学课本证明完三角形的内角和为180度以后，再利用内角和外角互补的关系，得到外角和为360度.
在讲完三角形的内角和与外角和以后，中学教材便开始讲凸多边形的内角和，课本中的讲法通常是这样的：从凸多边形的某个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，从而把多边形分成了（n－2）个三角形，多边形的内角和正好是这（n－2）个三角形的内角和，因而是（n－2）×180°.相应地，因为每个顶点对应的外角和内角互补，所有内角和与外角和的总和是n×180°，从而外角和是2×180°=360°，详情可参考［1］.一般的教材也就到此为止，即得到凸n边性内角和公式为（n－2）×180°，外角和为360°.以上的证明过程无疑是正确的，然而笔者认为，许多很自然的问题还没有解决：1.如果是非凸多边形，它的内角和应该是多少，外角和应该是多少？2.为什么多边形的内角和与边数有关，而外角和与边数无关？3.证明多边形的内角和公式和外角和公式，有没有更加直观和更加简单的方法？笔者通过对这几个问题的长期思考，结合现代微分几何学的研究方法，认为多边形的外角和是比多边形的内角和更重要的几何量.如果换一种方式来讲解多边形的内角和与内角和，则不但讲解过程更加直观，而且不需要任何公理，此外，该讲解方法还适用于非凸多边形，最后，该讲解方法还可以很容易推广到现代微分几何学中的Gauss-Bonnet公式.下面笔者来详细叙述这种直观的讲解方法.
我们来观察一下三角形的制作过程.中学教科书中说，三条线段顺次首尾相接就构成一个三角形，实际上，我们只需要把一条线段折三次就能得到一个三角形，仔细观察折叠的过程，就能得到三角形的外角和为360度的结论.下面，我们来看看具体的折叠步骤：图2
首先，取一条线段（如图1）.
第一步：将AB段不动，BE段绕B点逆时针旋转α角度（如图2）.
第二步：将AB段、BC段不动，CE段绕C点逆时针旋转β角度，使得D、A、B三点在同一条直线上（如图3）.
第三步：将AB段、BC段、CD段都不动，DE段绕D点逆时针方向旋转γ角度，使得DE与AB共线（如图4）.
通过上述三步，一个三角形就形成了.巧合的是α、β、γ刚好是ΔABC的外角，那么它们的和是多少度呢？观察DE段，它在第一步逆时针旋转了α，第二步逆时针旋转了β，第三步逆时针旋转了γ，最终绕了一圈，回到了原来的方向，既然是绕了一圈，也就是说旋转了360°，即α+β+γ=360°，也即三角形的外角和是360°，得到了三角形的外角和为360°以后，因为每个顶点处的内角与外角互补，所以内角和与外角和的总和是3×180°，因而得到内角和是180°.上述过程的实施非常简单，不需要教材中的辅助线等工具，并且这种方法可以推广到多边形，包括凸多边形和非凸多边形的情况.
先来看看凸n边形的内角和与外角和，将一条线段分成（n+1）段，用同样的方法，经过n步将线段绕不同的点旋转一定角度，就可以得到一个凸多边形（当然要求旋转的角度和线段的分段要适当），因此凸n边形的外角和360°，从而得到内角和是（n－2）×180°.
从上面的分析可以看出，无论是构造多少条边的凸多边形，其本质都是最后一段旋转了一圈，而每一次旋转的角度都是多边形的一个外角，因此凸n边形的外角和总是360°，这就是对多边形外角和的直观认识，这样理解外角和还有以下两个好处.
第一是只要适当定义外角，上述结果也可用于非凸多边形的外角和与内角和.对于非凸的多边形，一般来说，不能通过在某个顶点处作对角线，而将多边形的内角和归结为三角形的内角和.如对于下面的非凸六边形（如图5），无论从哪个顶点出发，引对角线都无法将它切割成几个三角形，因而中学教材中的方法不适用于非凸多边形.但只要稍微调整我们的方法，就能得到非凸多边形的外角和和内角和公式，事实上，只需要注意旋转的方向是逆时针方向还是顺时针方向即可.我们以图5中的多边形为例，来看看具体的步骤.我们不妨规定逆时针方向为正方向，从而顺时针方向就为负方向.在第一步时，沿逆时针方向旋转了α度，记为+α.在第二步时，沿逆时针旋转了β度，记为+β.在第三步时，沿顺时针方向旋转了γ度，旋转的方向与前面相反，因而记为－γ.同理，第四步，因为是沿顺时针方向旋转了θ度，记为－θ.第五步和第六步是沿逆时针方向旋转，因此应为正向.观察整个过程，最后的结果是沿逆时针方向旋转了