四川省宜宾市翠屏区宜宾第四中学校2024届高三一模数学（理）模拟试题及解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1.集合运算
设集合\(A=\{x\midx^23x+2=0\}\)，则\(A\cup\{1,2,3\}\)的结果是：
A.\{1,2\}
B.\{1,2,3\}
C.\{1,3\}
D.\{2,3\}
解析：
求解方程\(x^23x+2=0\)，得\(x=1,2\)。
集合\(A=\{1,2\}\)。
并集运算\(A\cup\{1,2,3\}\)包含所有元素，结果为\{1,2,3\}。
故选B。
2.函数性质
下列函数中，既是偶函数又在\([0,+\infty)\)上单调递增的是：
A.\(f(x)=x^3\)
B.\(f(x)=x^2\)
C.\(f(x)=x+1\)
D.\(f(x)=|x|\)
解析：
A为奇函数，排除；
B为偶函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递增，符合题意；
C为非奇非偶函数，排除；
D为偶函数，但在\([0,+\infty)\)上单调递减，排除。
故选B。
二、填空题（每题5分，共30分）
3.对数函数的值
若\(\log_28=3\)，则\(\log_21\)的值为______。
解析：
根据对数定义，\(\log_28=3\)意味着\(2^3=8\)。
因此，\(\log_21=0\)（因为\(2^0=1\)）。
答案：0。
4.函数极值
函数\(f(x)=x^2+4x+3\)的最大值为______。
解析：
这是一个开口向下的二次函数，其顶点坐标为\((b/2a,f(b/2a))\)。
代入\(a=1,b=4\)，得顶点\((2,11)\)。
故最大值为11。
三、解答题（共60分）
5.数列与不等式
已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且\(a_{n+1}=2a_n+1\)（\(n\geq1\)）。
求证：数列\(\{a_n\}\)是单调递增的；
求解不等式\(a_n100\)的最小\(n\)值。
解析：
证明单调性：
通过数学归纳法证明：假设\(a_ka_{k1}\)对某个\(k\)成立，则\(a_{k+1}=2a_k+12a_{k1}+1=a_{k}\)。
故数列单调递增。
求解不等式：
将递推式变形为\(a_n=2^n1\)。
解\(2^n1100\)，得\(n6\)。
故最小\(n\)值为7。
6.解析几何
已知直线\(y=mx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，求实数\(m\)的值。
解析：
圆心到直线的距离等于圆的半径（1）。
距离公式为\(\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。
代入\((0,0)\)和\(y=mx+1\)，得\(\frac{|1|}{\sqrt{m^2+1}}=1\)。
解得\(m=0\)或\(m=\pm\sqrt{3}\)。
四、选做题（每题10分，共20分）
7.立体几何
已知三棱锥\(PABC\)中，底面\(ABC\)是边长为2的等边三角形，\(PA\perpABC\)，且\(PA=2\)。求\(P\)到平面\(ABC\)的距离。
解析：
利用三棱锥的高公式，结合底面面积计算。
\(S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{