聚焦主线选编问题开放留白变式追问
等腰直角三角形是一類重要的基础图形，在不少地区的中考几何综合题中都少不了它的身影．开展中考几何专题复习时，以等腰直角三角形为背景的补图问题是一类重要专题，值得安排专题复习课.近期笔者在学校备课组内开设一节“等腰直角三角形补图问题”专题复习课，取得较好的教学效果，本文整理该课教学设计，并跟进教学思考，提供研讨．
一、“等腰直角三角形补图问题”专题教学设计
活动1等腰直角三角形补图问题与中点探究
问题1如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点EH⊥AC，垂足为H，连接AE．
（1）补全图形后提出一个问题并解决；
（2）连接BE，M为BE的中点，连接CM，用等式表示线段CD，CM，BC之间的数量关系，并证明．
教学预设：先安排学生独立补出图2，然后安排开放式提问，教师要充分预设学生可能的设问，比如求证△BCD≌△DHE，△AEH是等腰直角三角形，再比如求证AH＝CD，等；进一步探究第（2）问时，也要先安排学生补出图3，结合BE中点为M的条件，可以连接HM并延长交BC于点G，证出△EHM≌△BGM，得出M也为GH的中点，BG＝EH，进而等量代换出AH＝BG，CG＝CH，于是△CGH是等腰直角三角形，CH＝2CM．进而根据CD＋CH＝AH＋CH＝AC＝BC，可得CD＋2CM＝BC．
活动2等腰直角三角形问题与一题多证
问题2如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝2．将△ABC绕点B逆时针旋转α（90°≤α≤120°）得到△A′BC′，点A，点C旋转后的对应点分别为点A′，点C′．设线段AA′与线段CC′相交于点D．
（1）在图4中补全图形，并求证点D为AA′的中点；
（2）连接BD，请分析BD的长的取值范围．
教学预设：第（1）问先安排学生补全图形，如图5，作AE//A′C′交CD于点E．进一步证明的关键是攻克“AE＝A′C′”．可设∠BCC′＝β，由BC＝BC′，可得∠BC′C＝β，于是∠A′C′C＝90°＋β，由AE//A′C′，得∠AEC′＝∠A′C′C＝90°＋β，根据邻补角性质可得∠AEC＝90°-β，而∠ACE＝90-β，所以∠ACE＝∠AEC，可得AE＝AC，于是代换出AE＝A′C′，可证△ADE≌△A′DC′，得出D为AA′的中点．另外，如果着眼于△ABA′是等腰三角形，如果能攻克BD⊥AA′，也能得到D为AA′的中点．沿着这个思路，可先证出△CBD∽△ABA′，可得∠DAB＝∠DCB，进一步得到∠ADC＝∠ABC＝45°．也可发现四点A，C，B，D共圆，从而得出∠ADB＝90°，实现问题解决．
第（2）问，在以上分析的基础上，想清直角三角形ABD中，∠ABD的大小影响着BD的大小．在等腰三角形ABA′中，由“三线合一”可得∠ABD的范围是45°≤∠ABD≤60°，于是当∠ABD＝60°时，BD取得最小值2/2；当∠ABD＝45°时，BD取得最大值1；即BD的长的取值范围2/2≤∠ABD≤1．
活动3等腰直角三角形与正方形的联系
问题3如图6，已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），且45°＜∠ABD＜90°，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．连接AE，过点D作DG⊥AE于G，过点A作AH∥BC交DG的延长线于点H．
（1）补全图形，求证AH＝BC；
（2）用等式表示线段DH，BE，DE的数量关系，并证明．
教学预设：第（1）问先由学生独立补出图7，并想清待证的“AH＝BC”的等价结论可以是四边形ABCH是正方形，或者DH＝AE，或者△ABE≌△HAD．在此基础上，第（2）问中待分析的三条线段DH，BE，DE的数量关系，可以代换、转化到直角三角形ADE中思考，结合勾股定理得出它们之间的平方关系．讲评之后，可以将问题逆向设问，安排学生变式再练．
变式问题如图7，正方形ABCH中，过点B在正方形内部的作射线l，AD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D，E．连接DH，AE，求证AE＝DH．
变式意图学生证明的关键仍然是△ABE≌△HAD．全等判定的依据是“SAS”．
活动4课堂小结
小结问题1在求解与等腰直角三角形问题有关的补图问题时，正确补全图形是后续解题成功的关键，你在补图过程中积累了哪些经验？
小结问题2本课中有不少设问需要用等式表示两条或三条线段之间的数量关系，这类问题常常要将其中一条或两条线段进行等量转换，给你留下较深印象的是哪个问题？举例说说．
小结问题3等腰直角三角形与正方形联系密切，本课中的“问题3”就是一例．你能将“问题3”再以正方形为背景，改编出一道新的问题吗？
设计意图：通过以