复变函数积分的概念第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日2.积分的定义:第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日(第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日关于定义的说明:第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日二、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日性质(4)的证明两端取极限得[证毕]第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日三、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日根据线积分的存在定理,第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日在形式上可以看成是公式第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日2.积分的计算法第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日例1解直线方程为第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日这两个积分都与路线C无关第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日例2解(1)积分路径的参数方程为y=x第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日(2)积分路径的参数方程为y=x第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第20页，共29页，星期日，2025年，2月5日例3解积分路径的参数方程为第21页，共29页，星期日，2025年，2月5日