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模块七：导数及其应用

1、函数的平均变化率

一般地,若函数()的定义域为,且

=

,∈,≠,=,=,

12121(1)2(2)

则称

=2?1

为自变量的改变量;称

=2?1(或=(2)?(1))

为相应的因变量的改变量;称

2?1(2)?(1)

=2?1或=2?1

为函数=()在以1,2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以1,2

为端点的闭区间”,在12时指的是[1,2],而12时指的是2

平均变化率的实际意义是,在以1,2为端点的闭区间上,自变量每增加1

个单位,因变量平均将增加个单位.因此,如果自变量增加个单位,

?

那么因变量将增加个单位.个单位.

说明:在12时0;在12时0;

平均变化率作用:刻画函数值在以1,2为端点的闭区间上变化的快慢

依照定义可知,函数在一个区间内的平均

图6-1-1

变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.例如,图6-1-1

中函数=()在[1,2]上的平均变化率,等于直线的斜率,其中

1,(1),2,(2).

因此,平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)

在某一区间上的变化趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,

曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.

2、瞬时变化率与导数

(1)函数在某点处的导数:

如果当→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称=

()在=0处可导,并把这个确定的值叫做=()在=0处的导数

′′

(derivative)(也称为瞬时变化率),记作(0)或|,即

=

(0+)?(0)

′=lim=lim.

(0)

→0→0

(2)导数的几何意义

1)

2)曲线=()在点0,(0)(也称在=0处)的切线方程是:3、导函数

(简称导数)

一般地,如果函数()在其定义域内的每