第12讲进位制进阶
一、寻找蛛丝马迹
练习1
完成下列各题．
（1）将三进制数化成九进制数．
（2）解方程．
【答案】（1）
（2），
【解析】（1）三进制的，，，，，，，，正好一对应九进制的，，，
，，，，，．因此，可将三进制从个位起两位一段依次转化为九进制：
．
（2）根据题意有，化简得．由于，故而，
．
【标注】【拓展思维】进制间的互化
练习2
在几进制中，有？
【答案】．
【解析】利用尾数分析来解决这个问题．由于，由于式中为，尾数为
，也就是说已经将全部进到上一位．所以说进位制为的因数，也就是，，，，中的
一个．但是式子中出现了，所以要比大，不可能是，，进制．另外，由于
，因为，也就是说不到就已经进位，才能是，于是知
，那么不能是．所以只能是．
【标注】【拓展思维】进制乘除运算
1
练习3
在进制中有三位数，化为进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
【答案】.
【解析】首先还原为十进制：
；
．
于是；得到，即．
因为是的倍数，也是的倍数，所以也应该是的倍数，于是或．
但是在进制下，不可能有这个数字．于是，，则．
所以为的倍数，为的倍数．
所以，或，但是，首位不可以是，于是，；
所以．
于是，这个三位数在十进制中为．
【标注】【拓展思维】进制间的互化
练习4
在进制中，一个多位数的数字和为十进制中的，求除以的余数为多少？
【答案】余数是．
【解析】方法一：类似于十进制中的“弃九法”，进制中也有“弃法”，
也就是说制中一个数除以的余数等于这个数的各位数字之和除以的余数．
本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为，而除以的余数为，所以这个数除以的余
数也为．
方法二：八进制中除以的性质可以类比十进制中除以的性质．在八进制中，一个数除以的余
数，和这个数各个数位上数字之和除以的余数相同．因此，可以这样计算：
．
因此，这个多位数除以的余数为．
【标注】【能力】逻辑分析
【思想】对应思想
【思想】逐步调整思想
2
练习5
古代英国的一位商人有一个磅的砝码，把砝码切成块，后来，称得每块碎片的重量都