第11讲因数与倍数进阶
一、寻找蛛丝马迹
练习1
，=．
【答案】;
【解析】，．
【教学提示】可能会有很多学生直接认为，通过此题告诫学
生，对于没有学过的定理，不能随便乱用．可以大胆猜想，但要小心求证．
【标注】【能力】逻辑分析
【能力】运算求解
【思想】对应思想
【拓展思维】两数的最小公倍数
【拓展思维】两数的最大公因数
练习2
两数的乘积是，最大公因数是，那么较大的数是多少？
【答案】或
【解析】根据短除模型，可知，即．由于、互质．
所以只可能是或．
所以较大的数可能是或．
【标注】【拓展思维】短除模型
练习3
两个自然数的和是，它们的最大公因数是，试求这两个数的差．
1
【答案】或者
【解析】设这两个自然数为：，，其中与互质，，，经检验，容
易得到两组符合条件的数：与或者与．故，所要求的两个自然数也有两组：与，与
．它们的差分别是：，．所以，所求这两个数的差是或者．
【标注】【拓展思维】短除模型
练习4
有多少个因数？所有的因数之和是多少？
【答案】个；.
【解析】，因数个数为，
因数之和是．
【标注】【拓展思维】因数和；总个数
练习5
已知有个因数，那么有几个因数？
【答案】或
【解析】
若，则，有个因数；
若，不可能；
若，，有个因数；
若，不可能．
所以有或个因数．
【标注】【拓展思维】因数个数定理逆应用
练习6
有多少个能被整除，且恰有个不同因数的自然数？
2
【答案】
【解析】由于自然数能被整除，那么自然数至少含有个质因数，
，，．设．自然数恰有个不同的因数，根据因数的个数公
式：，由于最多分解成
个大于的数的乘积，而又至少有个不同质因数，因此只能是的情
形，且，由此可知必是
的一个排列，共有种情况，也就是有个这样的自然数．
【标注】【拓展思维】总个数
二、转动数学大脑
练习7
丁丁和牛牛一起写作业，在做第一题的时候，丁丁很快就完成了，而牛牛计算到第三个就算了半
天，第三个很难吗