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2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷02参考答案
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
A
A
D
D
D
A
D
C
A
A
B
D
B
B
B
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）
16、
17、
18、1800
19、
20、
三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
21.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；
（2）根据二倍角公式求解即可；
（3）根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2），
；
（3）.
22.（本小题满分10分）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可；
（2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可.
【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有，
解得.
（2）因为，所以，，
则，
所以，.
则.
23.（本小题满分10分）
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)1.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理推理得证.
（2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可.
（3）由（2）中信息求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，连接交于点，连接，
由四边形为矩形，得为的中点，而为的中点，，
又平面，平面，所以平面．
（2）在直三棱柱三棱柱中，侧面，，均为矩形，
又，则底面，均为直角三角形，
由，，得，
所以三棱柱的表面积为
.
（3）依题意，平面，平面，则，又，
平面，于是平面，
由为的中点，得点到平面的距离等于点到平面距离的一半，为，
而的面积，
所以三棱锥的体积.
24.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值；
（2）任取，利用作差法证明即可；
（3）分析函数在上的单调性和最值，发现当时，单调递减；当时，单调递增，计算的值，由此可得函数在上的图象，进而得到实数a的取值范围.
【详解】（1）因为，将代入函数，可得，
解得．
（2）设，则
，
因为，所以，则，
又，所以，即，
所以函数在上是减函数．
（3）在上有两个不同的实根，等价于函数与直线在上有两个交点，
因为，由基本不等式可知，当且仅当即时取等号，
即当时，，
由对勾函数性质可知当时，单调递减；当时，单调递增，
又，
因为函数与直线在上有两个交点，
所以实数a的取值范围是.