湖南省岳阳市2023?2024学年高二下学期教学质量监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则集合的子集个数为（????）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．设数列为等比数列，若，，则（????）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．已知，均为锐角，，，则的值为（????）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有（????）
A．84 B．90 C．72 D．78
7．设，，，则（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据：
x
1
2
3
4
5
6
y（单位：万人）
1523
1465
1202
1062
956
902
已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（????）
A．
B．这6年出生人口数的下四分位数为1465
C．样本相关系数
D．样本点的残差为55
10．已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（????）
A．
B．当平面截三棱锥的截面为正方形时，
C．三棱锥的体积最大值为1
D．当时，三棱锥的外接球的半径为
11．已知函数，对任意的实数x，y都有成立，，，则（????）
A．为偶函数 B．
C． D．4为的一个周期
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为虚数单位，则的共轭复数为.
13．在中，内角的对边分别为，若且，则面积的最大值为.
14．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，；
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望；
(2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.
17．已知函数，其中.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，设.求证：存在极小值点.
18．定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题：
(1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）；
(2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列；
①求数列的通项公式；
②若.证明：
19．已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点；
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点；
(3)若直线与直线分别交于，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】先求解出集合，然后求解出的子集个数.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
所以的子集个数为8.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，设公比为，
因为，，所以，得到，
又，当时，，当时，，
故选D.
3．【答案】A
【分析】利用投影向量的定义求解即可.
【详解】向量，
则向量在向量上的投影向量是
.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据条件，利用平方关系得到，，构角，利用余弦的和角公式，即可求出结果.
【详解】因为，均为锐角，即，所以，，
又，，
所以，，
所以
，
故选B.
5．【答案】A
【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可.
【详解】因为，所以，即是直角三角形，
因为直线的一个方向向量为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以.
故选A.
6．【答案】C
【分析】先选出两人分别与甲，乙组队，再