湖南省三湘名校教育联盟2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则（????）
A． B． C． D．
2．若向量，，且，则（）
A． B．45 C． D．
3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（????）
A． B． C．2 D．
4．的内角的对边分别为，已知，则的面积为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数，且，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（????）
??
A． B． C． D．
7．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（????）
A． B． C． D．
8．如果对于正整数集，将集合拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则的最大值为（????）
A．12 B．9 C．7 D．6
二、多选题（本大题共3小题）
9．早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为，其中为参数.若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（????）
（参考数据：若随机变量，则
A．曲线关于直线对称
B．曲线在处达到峰值
C．当较小时，正态曲线“矮胖”，当较大时，正态曲线“瘦高”
D．若，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（????）
A．的最小正周期为
B．若在区间恰有两个零点，则的取值范围为
C．若，且，则
D．若在区间恰有两个最值点，则的取值范围为
11．已知函数，则下列说法正确的是（????）
A．若在处取得极小值，则
B．若，则
C．若，则曲线关于点中心对称
D．若，则有3个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为.
13．设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，，则.
14．已知函数.若当时，存在过坐标原点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
16．已知等差数列满足，等比数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
17．2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.
(1)若型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为.已知型服务机器人第一次检测成功的概率为，求型服务机器人第二次检测成功的概率；
(2)试产型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时，型合格的概率分别为，第二次检测时，型合格的概率分别为.两次检测相互独立，设经过两次检测后，型服务机器人合格的种类数为随机变量，求的分布列和数学期望.
18．已知函数.
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(2)当时，证明：；
(3)若，求实数的取值范围.
19．已知椭圆的左，右焦点分别为椭圆上任意一点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，求的最小值；
(3)已知直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，为坐标平面内不在直线上的动点，若直线斜率的倒数成等差数列，证明：动点在定直线上，并求直线的方程.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，所以，解得，
故，
故.
故选C.
3．【答案】B
【详解】因为直线是双曲线的渐近线，
所以，所以.
故选B.
4．【答案】C
【详解】由，得，
由余弦定理得，所以，
所以的面积为，
故选C.
5．【答案】A
【详解】函数的定义域为R，，
函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增，
不等式，
则，即，解得或，
所以m的取值范围是.
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为有平面，所以为与圆锥底面所成角，即
又因为是底面圆的直径，所以，
又是的中点，所以，
由已知，
可得，所以.
又平面平面，所以.
由，解得，
所以圆锥的体积，
故选D.
7．【答案】C
【详解】如图所示，设，线段的中点为