广东省广州市广东实验中学越秀学校2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（????）
A． B． C． D．
2．已知，则（????）
A． B． C． D．
3．某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为（????）
A． B． C． D．
4．若，则（）
A．5 B．20 C．60 D．120
5．将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（）
A．120 B．300 C．180 D．150
6．已知，则数列的通项公式为（????）
A． B．
C． D．
7．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
8．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（????）
A．599 B． C．554 D．568
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（????）
A．展开式中的常数项为1 B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D．
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种
11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（????）
A． B．的前项和
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项积为，若，则.
13．如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种.
14．设，若函数在内存在极值点，则的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
16．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．已知各项均为正数的数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和；
(3)若，求数列的前项和为
18．设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
19．已知椭圆的下焦点为，其离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等差数列的前项和为，则.
故选C.
2．【答案】D
【详解】根据题意，，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】由，求导得，
所以该运动员在时的瞬时速度为（）.
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为，所以或，
解得（舍去）或，
所以.
故选D.
5．【答案】D
【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2．
当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法．
所以不同的安排方法有种．
故选D.
6．【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选C.
7．【答案】A
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，
所以，，
由得，所以，
所以
.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】A选项，中，令得，
，常数项为1，A正确；
B选项，中，令得，
，展开式中各项系数之和为1，B错误；
C选项，展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性，
二项式系数最大的项为第项，C错误；
D选项，中，令得，
，
又，故，D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排