广东省部分学校2023?2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（????）
A． B．
C． D．
2．已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（???）
A． B． C．0 D．
3．已知等差数列满足，且，则首项（????）
A． B．0 C．1 D．3
4．5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（????）
A．24 B．12 C．48 D．36
5．已知直线与椭圆相切，则的值为（????）
A． B． C． D．
6．四棱锥至多有几个面是直角三角形？（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（????）
A．样本的众数为70
B．样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C．用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D．用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
10．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（???）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
11．如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（????）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若.，则动点的轨迹长度是
D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种．
13．已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为.
14．已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值.
16．已知数列满足且.
(1)求的通项公式.
(2)设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
17．已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中含的项；
(3)若第k项是有理项，求k的取值集合．
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
(1)若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
(2)若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
19．已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为的平均数是10，方差是10，
则，，
所以的平均数是，
方差是
故选：A.
2．【答案】A
【详解】，由得，
即，当时，，
画出图象，如下图，
由图可知，在上递减，
所以，当时，
故选：A
3．【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，所以．
故选：C．
4．【答案】A
【详解】将甲乙捆绑，有种情况，将甲和乙看作一个整体，
和除丙外的两个人进行全排列，有种情况，
然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，故有种情况，
综上，不同的安排方法数有.
故选：A
5．【答案】C
【详解】依题意，联立，得，
化解得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
化简整理得，所以.
故选：C.
6．【答案】C
【详解】在正方体中，取四棱锥，
其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形.
故选：C.
7．【答案】B
【详解】由函数，可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得在恒成立，即恒成立，
设，则，所以，
所以在单调递减，所以.
故选：B．
8．【答案】C
【详解】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知