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2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷03参考答案
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
C
C
B
B
C
D
B
A
D
B
A
B
A
C
B
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）
16、
17、
18、40
19、
20、
三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
21.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案；
（2）利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果；
【详解】（1）因为，，
所以，.
所以
.
（2）
.
22.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出坐标，再根据模长公式计算即可；
（2）应用夹角余弦公式计算求解；
（3）应用投影向量公式及向量数量积公式计算求解.
【详解】（1）因为向量，满足，，
所以，
故；
（2）因为，，
所以，
又，，
所以，
故与的夹角余弦值为；
（3）因为，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
23.（本小题满分10分）
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证.
（2）由（1）的结论，结合等体积法及锥体体积公式求解.
（3）作出异面直线所成的角，再求解三角形即可得解.
【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接，
由梯形，，得，
由点是棱上靠近端的三等分点，
得，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）在梯形中，，
则，
由（1）知，平面，而点是棱上点，
则点到平面的距离相等，
由，得点到平面的距离是点到平面的距离，
则，
所以三棱锥与四棱锥的体积比.
（3）在上取点，使，连接，则，即，
因此是异面直线与所成的角或其补角，，
由平面，平面，得，
，，
在中，，
由余弦定理得，
在等腰中，，
所以异面直线与夹角的余弦值是.
24.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案；
（3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案.
【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得，
解得.
（2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线，
由函数在上单调，则或，解得或.
（3）由题意可得，解得.