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2025年7月天津市普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷01参考答案
一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
D
C
C
A
C
B
A
A
A
B
D
D
C
C
D
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）
16、,
17、
18、120，110，90
19、
20、/
三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
21.（本小题满分10分）
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得，利用两角差的余弦公式计算得出结果；
（2）根据诱导公式及二倍角公式计算可得.
【详解】（1）由题意有，
；
（2）.
22.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值；
（2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由复数，
因为复数为纯虚数，则满足，解得.
（2）解：当时，可得，
由复数是方程的一个根，则是方程的一个根，
解方程的两个根为和，
则，即，解得.
23.（本小题满分10分）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证；
（2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解.
【详解】（1）取的中点，连接，
∵为的中点，∴且，
∵为的中点，∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，∴.
又∵平面平面，
∴平面.
（2）∵，∴，
∴.
在直三棱柱，易知平面，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
∴，
又∵平面，
∴
24.（本小题满分10分）
【答案】(1)
(2)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为或．
(3)
【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域.
（2）因式分解，得到对应方程的两根，讨论两根之间的大小关系，得出对应解集；
（3）建立不等式化简整理得到，求出在的最小值即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，的对称轴为．
当时，；当时，，
在上的值域为．
（2），∴，
当时，即，解得．当时，即，解得．
当时，即，解得．
综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为或．
（3），
∵，∴，∴，
∵，∴，只需，
令，
，
当且仅当，∴，即时取等号，取得最小值为24，
∴．