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二级结论1：极化恒等式
【结论阐述】
（1）极化恒等式：；
（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形中，，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的；
（3）极化恒等式三角形模型：在中，为边中点，则；.
说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；
（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.
【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）?最值?范围等问题.
【典例指引1】
（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）
1．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.???????????
【典例指引2】
2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【针对训练】
（2022·山东日照市·高三二模）】
3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（????）
A．44 B．22 C．24 D．72
（2022·河北武强中学高三月考）
4．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是．
（2022·全国福建省漳州市高三期末）
5．在中，为的三等分点，则
A． B． C． D．
（2022·海南海口·二模）
6．在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是.
（2022?南通期末）
7．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是.
（天津高考）
8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．
二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件
【结论阐述】设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则
（1）为的外心.
（如图1）
（2）如图2，为的重心.
（3）如图2，为的垂心.
（4）如图3，为的内心.
说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.
【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.
【典例指引1】
9．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（????）
A．满足，则点是的外心
B．满足，则点是的重心
C．满足，则点是的垂心
D．满足，且，则为等边三角形
【典例指引2】
10．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（????）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【针对训练】
11．在△中，，，，O为△的内心，若，则（????）
A． B． C． D．
12．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
13．设I为的内心，若，，，则
14．设O为的外心，若，，则.
15．设I为的内心，若，，，则
二级结论3：奔驰定理
【结论阐述】奔驰定理：设是内一点，，，的面积分别记作，，则.
说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.
奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
①是的重心.
②是的内心.
③是的外心.
④是的垂心.
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.
【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.
【典例指引1】
（2022·四川西昌·高二期末）
16．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【典例指引2】
17．设G是△ABC重心，且，则．
【针对训练】
一?单选题
18．若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（????）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
19．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（????）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
20．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的