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大招8??不等式证明——分割与放缩
如果不等式（或），通过直接求导证明非常困难或者压根行不通，则需要转换思路，可按下列方法去处理.
1.分割法
令函数，通过证明，进而有；或者通过证明，进而有.
注意：分割法的核心是构造出或.分割法使用的前提是题目本身的分割特点非常明显.
2.放缩法
通过一个辅助函数，对函数进行放缩，使得（或）.常见的放缩有以下两种情形：
第一种：函数中含有指数或对数形式时，使用，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号进行放缩.
第二种：在一些题目中第二问放缩不等式时会用到第一问的结论.
由ex≥x＋1引出的放缩：
①ex－1≥x（用x－1替换x，切点横坐标是x＝1），通常表达为ex≥ex.
②ex＋a≥x＋a＋1（用x＋a替换x，切点横坐标是x＝－a），平移模型，找到切点是关键.
③xex≥x＋lnx＋1（用x＋lnx替换x，切点横坐标满足x＋lnx＝0），常见的指对跨阶改头换面模型，切线的方程是按照指数函数给予的.
④ex≥x2x2（x0），通常有（x0）的构造模型.
由lnx≤x－1（也可以记为lnex≤x，切点为（1，0））引出的放缩：
最常见的就是ln（x＋1）≤x，由lnxx－1向左平移1个单位长度来理解，或者将ex≥x＋1两边取对数而来.
①lnx≤，表示过原点的f（x）＝lnx的切线为y＝.
②lnx≥1－，或者记为xlnx≥x－1.
③lnx≤x2－x（由lnx≤x－1及x－1≤x2－x，切点横坐标是x＝1），或者记为≤x－1.
④lnx≤（x2－1），即在点（1，0）处三曲线相切.
【典例1】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.
【大招指引】（1）先求导，再确定正负的范围；（2）先将“”分割为“”，从而去证明.
【解析】（1）因为，所以，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递減，当时，，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）构建函数（），所以，当且仅当时取等号，所以函数单调递增，所以.
构建函数，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.又，，所以，因为，且，所以当时，，所以当时，，所以当时，.
【题后反思】欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.于是，这就需要我们熟悉高中阶段常见的六个具有这样特点的函数.
【温馨提示】凸凹反转也是命制一些零点问题的一种视角，若方程有唯一根，且可进一步转化为，而为上凸型函数，为下凹型函数，这样唯一的零点就会出现在一个函数的最低点和另一个函数的最高点！
【举一反三】
【2022全国卷】
1．设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求???????????????????(2)证明:
【2024四川成都一模】
2．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
【典例2】已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）求证：.
【大招指引】（1）先求导，再确定正负的范围；再求出最值.（2）根据，，可将变形为，然后加以放缩，从而完成证明.
【解析】（1）因为，所以，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值.
（2）由（1）得，当且仅当时取等号，所以，即（两边同时取以为底的对数），当且仅当时取等号.观察发现当时，，所以放缩后需要让指数式和对数式都在处取0.因为，所以，当且仅当时取等号.
【题后反思】指数函数与直线常见的放缩模型有：
模型一.（用替换，切点横坐标是），通常表达为.
模型二.（用替换，切点横坐标是），平移模型，找到切点是关键.
模型三.（用替换，切点横坐标满足），常见的指对跨阶改头换面模型，切线的方程是按照指数函数给予的.
模型四（用替换，切点横坐标是；通常有的构造模型.
【举一反三】
3．设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
4．已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明：．
【典例3】已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
【大招指引】（1）先求导，再利用斜率，可求出a的值.（2）解法一：根据对的研究，求出它的最小值大于0；解法二题设等价于证明.利用切线放缩.
【解析】（1）函数.可得，曲线在处的切线的斜率为，所以，即；
（2）解法一由，令.①当时，单调递增，单调递增，，满足题意.（2）当时，，解得.当单调递减；当单调递增，此时