二次函数在给定区间上得最值问题
【学前思考】
二次函数在闭区间上取得最值时得,只能就就是其图像得顶点得横坐标或给定区间得端点、因此，影响二次函数在闭区间上得最值主要有三个因素:抛物线得开口方向、对称轴以及给定区间得位置、在这三大因素中，最容易确定得就就是抛物线得开口方向(与二次项系数得正负有关),而关于对称轴与给定区间得位置关系得讨论就就是解决二次函数在给定区间上得最值问题得关键、本节,我们将以若干实例说明解决此类问题得具体方法、
【知识要点例题精讲】
二次函数在给定区间上得最值问题,常见得有以下三种类型，分别就就是:
CaseⅠ、给定区间确定,对称轴位置也确定
说明:此种类型就就是较为简单得一种,只要找到二次函数得对称轴，画出其函数图像,再将给定区间标出,那么二次函数得最值一目了然、
解法：若二次函数得给定区间就就是确定得,其对称轴得位置也确定,则要求二次函数在给定区间上得最值，只需先考察其对称轴得横坐标就就是否在给定区间内、（ｉ)当其对称轴得横坐标在给定区间内时,二次函数在给定区间上不具有单调性,此时其一个最值在顶点处取得,另一个最值在离对称轴得横坐标较远得端点处取得;
（ii)当其对称轴得横坐标不在给定区间内时,二次函数在给定区间上具有单调性,此时可利用二次函数得单调性确定其最值、
例1、二次函数在闭区间上得最大值就就是_______、
例2、函数在区间上得最大值就就是_＿__＿_＿,最小值就就是＿_＿____、
例3、已知，则函数得最大值就就是_____＿_,最小值就就是_＿＿_＿_、
ＣasｅⅡ、给定区间确定，对称轴位置变化
说明：此种类型就就是非常重要得,就就是考试必考点，主要就就是讨论二次函数得对称轴与给定区间得位置关系，一般需要分对称轴在给定区间得左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论,然后根据不同情况求出相应得最值、
解法:若二次函数得给定区间就就是确定得,而其对称轴得位置就就是变化得，则要求二次函数()在给定区间上得最值,需对其对称轴与给定区间得位置关系进行分类讨论、这里我们以得情形进行分析:
（ⅰ)若,即对称轴在给定区间得左侧,则函数在给定区间上单调递增,此时,;
(ⅱ)若，即对称轴在给定区间得内部,则函数在上单调递减,在上单调递增，此时,或，至于最大值究竟就就是还就就是,还需通过考察对称轴与给定区间得中点得位置关系作进一步讨论：若,则;若,则;
(ⅲ)若,即对称轴在给定区间得右侧，则函数在给定区间上单调递减,此时,、
综上可知,当时,
;
、
通过同样得分析可得到：当时,
；
、
例4、已知且,求函数得最值、
例5、求函数在区间上得最大值、
例６、求函数在区间上得最大值和最小值、
例7、设函数(),当时,求函数在区间上得最小值得解析式、
例8、已知函数，若对于任意得,都有成立,则实数得取值范围就就是_＿___＿_、
CaseⅢ、给定区间变化,对称轴位置确定
说明:此种类型，考试中出现得较少，一般就就是给定区间里含有参数、解决此类问题,亦可根据对称轴与给定区间得位置关系,分对称轴在给定区间得左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论,然后根据不同情况求出相应得最值、
解法:若二次函数得给定区间就就是变化得，而其对称轴得位置就就是确定得,则要求二次函数在给定区间上得最值,需对变化区间就就是否包含其对称轴得横坐标进行分类讨论,分类标准为：变化区间包含其对称轴得横坐标,变化区间不包含其对称轴得横坐标、解决方法与知识点2类似,这里不再赘述、
例9、已知函数定义在区间()上,求得最小值、
例10、已知函数，当(）时,求得最大值、
CasｅＩV、与二次函数最值问题有关得综合题型
利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：
（１)求函数得最值或最值得取值范围;
(2)求函数得解析式;
（3)证明不等式；
(4)求参数得取值范围;
(５)探究参数就就是否存在;
……
例11、设函数，,为常数、
(Ｉ)求得最小值得解析式;
(ＩI)在（I)中,就就是否存在最小得整数,使得对于任意均成立、若存在，求出得值；若不存在，请说明理由、
【解析】(I)函数得图像就就是开口向上,对称轴为直线得抛物线
(ｉ）若,即
此时函数得对称轴不在区间上,在区间上单调递增
于就就是
(ｉi）若，即
此时函数得对称轴不在区间上,在区间上单调递减
于就就是
(ｉｉi）若,即
此时函数得对称轴在区间上，在区间上单调递减,在区间上单调递增
于就就是
综上可知，
（II）要使对于任意得均成立,只需,
下求
由函数得图像可见,在上单调递增，在上单调递减
于就就是
又
故得最小值为
例1２、已知函数(),记就就是在区间上得最大值、
（Ⅰ)当且时,求得值;
(Ⅱ）若，证明、
【解析】(Ｉ)函数得图像就就是开口向