吉林省长春市德惠市第一中学2024?2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则的值为（????）
A． B． C． D．1
2．已知随机变量X的分布规律为（），则（）
A． B． C． D．
3．现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（????）
A．144种 B．240种 C．120种 D．72种
4．若，则（）
A． B．41 C． D．82
5．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（????）
A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0
6．北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（????）
A．60 B．90 C．150 D．240
7．下列函数中，在内为增函数的是（）
A． B． C． D．
8．某公司参加两个项目的招标，项目招标成功的概率为，项目招标成功的概率为，每个项目招标成功可获利万元，招标不成功将损失万元，则该公司在这两个项目的招标中获利的期望为（????）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（????）
A．是的极小值点 B．
C．函数在上有极大值 D．函数有三个极值点
A．二项式系数之和为64 B．所有项系数之和为
C．常数项为60 D．第3项的二项式系数最大
11．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为正整数，若，则.
13．袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是.
14．函数的值域是．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
16．已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2.
(1)求的值；
(2)求展开式中含的项.
17．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
18．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量的期望和方差．
19．某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
参考答案
1．【答案】B
【详解】函数，求导得，而，
因此，解得，
所以的值为.
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选A.
3．【答案】A
【详解】将捆绑在一起，看成一个整体，与进行全排列，有种排法，
排完后有4个空，用去插这4个空，有种方法，
由分步乘法原理可知共有种排列方式.
故选A
4．【答案】B
【分析】赋值法得到，，进而可得.
【详解】设，
则，，
，
故选B.
5．【答案】A
【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件，
则，
所以，
故选A.
6．【答案】C
【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，
5人分为：1,1,3，则有种；
5人分为：1,2,2，则有种，
所以一共有种方法.
故选C.
7．【答案】B
【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误；
对B，在内大于0恒成立，故B正确；
对C，，在内不满足大于等于0恒成立，