湖南省娄底市涟源市第二中学2024?2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．复数，则z的虚部为（）
A． B． C． D．
3．已知，，则（）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（）
A．2 B．6 C．4 D．
5．某校文艺汇演上有一个合唱节目，4名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（）
A．1440 B．2880 C．480 D．960
6．已知，则的最大值是（）
A．-1 B．1 C．4 D．7
7．圆与圆的公切线有且仅有（）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
8．设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（）
参考数据：；；
A．这次考试等级分的标准差为5
B．这次考试等级分超过70分的约有45人
C．
D．这次考试等级分在内的人数约为48人
10．设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（????）
X
0
1
2
P
A．恒为1 B．随增大而增大
C．恒为 D．最小值为0
11．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（????）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么.
13．从3名男生和5名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有种（用数字做答）；
14．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为．(参考数据：，，)
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求的最小正周期，最大值和最小值.
(2)把的图象向右平移后得到的图象，求的解析式.
16．若.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列及期望.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，.??
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．2024年新高考Ⅰ卷数学卷面分值进行了调整，其中第9题到第11题为多项选择题，每题分值为6分，若正确选项有2个，选对2个得6分，选对1个得3分，有选错的或不选择得0分；若正确选项有3个，选对3个得6分，选对2个得4分，选对1个得2分，有选错的或不选择得0分.已知甲、乙两位同学各自独立作答第11题，设第11题正确答案是2个选项的概率为.
(1)已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率；
(2)若乙同学在作答第11题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.求乙在答题过程中使得分最大的答题方式，并写出最大得分.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由交集定义可知：.
故选D.
2．【答案】A
【详解】复数的实部为2，虚部为.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为，，所以.
故选B.
4．【答案】D
【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数，
又二项式的展开式的通项为，
令，可得，则的系数为.
故选D.
5．【答案】B
【详解】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻，
所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体，
与剩下4名学生进行排列有种排法，
又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法，
因此根据乘法原理得所求种数为，
故选B.
6．【答案】B
【详解】由题意可得：，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即
故选B.
7．【答案】A
【详解】圆：，所以，.
圆：，所以，.
因为，，所以.
所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线.
故选A.
8．【答案】C
【详解】令，
∵函数在上是可导的偶函数，
∴在上也是偶函数