5．4数列求和
[知识梳理]
1．基本数列求和公式法
(1)等差数列求和公式：
Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d.
(2)等比数列求和公式：
Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
2．非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．
常见的裂项公式：
①eq\f(1,n?n＋k?)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
②eq\f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；
③eq\f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?)))；
④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．
3．常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n?n＋1?,2)；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n?n＋1??2n＋1?,6)；
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n?n＋1?,2)))2.
[诊断自测]
1．概念辨析
(1)已知等差数列{an}的公差为d，则有eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1))).()
(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n1，n∈N*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝eq\f(3n－1,2).()
答案(1)×(2)√(3)×(4)√
2．教材衍化
(1)(必修A5P47T4)数列{an}中，an＝eq\f(1,n?n＋1?)，若{an}的前n项和为eq\f(2017,2018)，则项数n为()
A．2014 B．2015
C．2016 D．2017
答案D
解析an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，又前n项和为eq\f(2017,2018)，所以n＝2017.故选D.
(2)(必修A5P38T8)一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()
A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)
答案A
解析第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×eq\f(2－1?1－2－9?,1－2－1)＝100＋200(1－2－9)．故选A.
3．小题热身
(1)数列{an}的通项公式为an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2018等于()
A．－1010 B．2018
C．505 D．1010
答案A
解析易知a1＝coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….
所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a2017＝0，a2018＝2018×coseq\f(2018π,2)＝－2018，∴S2018＝S2016＋a2018＝1008－2018＝－1010.故选A.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
答案－eq\f(1,n)
解析∵an＋1＝Sn＋1