第30页，共54页，星期日，2025年，2月5日对于有理分式函数F(x)=P(x)Q(x)求极限小结如下：⑴当x→∞时①若多项式P(x)的次数低于分母Q(x)的次数,则函数F(x)的极限为0.②若P(x)与Q(x)为同次多项式,则F(x)的极限为p(x)与Q(x)中x最高次幂的系数之比.③若P(x)的次数高于Q(x)的次数,则F(x)的极限为无穷大.第31页，共54页，星期日，2025年，2月5日⑵当x→x0时①若分母极限不为0,则可直接应用商定理求出其极限.②若分母的极限为0时,想法消去使分母极限为零的因子,而后用商定理出其极限.⑶求分式函数的极限时,可能会遇到0/0型,∞/∞型,∞0型等极限,①这时需对分式函数作恒等变换,而后约去公因式,化为可求解的形式.②利用罗必塔法则求解.第32页，共54页，星期日，2025年，2月5日四.两个重要极限:第33页，共54页，星期日，2025年，2月5日第三节函数的连续性函数的连续性反映在图形上就是：函数曲线是连续而不间断的xyxyoo（连续的）（在x0处间断）x0y=f(x)y=f(x)第34页，共54页，星期日，2025年，2月5日一.函数的增量:函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数y就从f(x0)变到f(x1),这时称△x=x1-x0为自变量x的增量,称△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)为函数在x=x0处的增量.第35页，共54页，星期日，2025年，2月5日函数增量的几何意义:△yf(x0)f(x1)x0x1=x0+△xy=f(x)△xABxyo记作:△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)第36页，共54页，星期日，2025年，2月5日二.函数的连续点与间断点:1.连续性定义:设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义,当x0有一增量△x时,相应地函数也有一增量:△y=f(x0+△x)-f(x0),若则称函数y=f(x)在点x0处连续(并称x0为函数的连续点)若以x=x0+△x代入上式,则有△x→0.则有第37页，共54页，星期日，2025年，2月5日于是函数的连续性定义可用以下三种不同的形式给出:)()(lim000xfxxfx=D+?D②)()(lim00xfxfxx=?③①0lim0=D?Dyx(其中△x=x-x0,△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)第38页，共54页，星期日，2025年，2月5日关于函数与极限知识点第1页，共54页，星期日，2025年，2月5日第一节函数一．函数概念：１．常量与变量：常量：某一变化过程中保持数值不变的量.变量：在某一变化过程中取不同数值的量．一个量是常量还是变量只是相对而言的．例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2(初等数学研究的主要对象)例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量.第2页，共54页，星期日，2025年，2月5日２．函数的概念：函数关系——变量之间的依赖关系函数定义：设ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ,都有一个(或多个)确定的y值与之对应,则称f是Ｘ上的函数.记作：y=f(x)，xX．ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义域．而所有对应的ｙ值组成的数集Ｙ则称为函数的值域．第3页，共54页，星期日，2025年，2月5日３．函数的表示方法：解析法(如y=f(x))列表法图象法其他函数的表示法解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如:cosx-π≤x≤010＜x＜1