范希尔理论指导下的“圆的标准方程”教学
［摘要］研究者基于范希尔理论分析掌握圆需要经历几个层次，以此揭示认识事物的一般性规律，为教学活动的设计提供依据.在数学教学中，教师要认真研究教材，关注知识间的前后联系，通过由表及里、由浅入深的逐层探究帮助学生深刻地理解知识，培养数学学习能力.
［关键词］范希尔理论；一般性规律；学习能力
圆的标准方程既是高中数学的教学重点，又是高考的重要考点.在学习圆的标准方程前，学生已掌握了直线方程，并初步了解了如何用代数知识解决几何问题.通过本课学习，学生将深入理解代数在几何问题中的应用，并为后续研究椭圆、双曲线和抛物线方程打下基础.在教学圆的标准方程时，教师可采用范希尔理论，通过分层设计来提高学生的理解能力和数学素养.
范希尔理论概述
范希尔夫妇研究指出，教材和教学难度常超出学生几何思维水平，造成学习困难，影响兴趣和信心，降低学习效率，难以实现预期教学效果.范希尔夫妇总结出几何思维的5个水平和5个阶段.5个水平从0级到4级分别为直观感受、分析、抽象或关联、形式演绎、严密性，与之对应的5个阶段分别为学前咨询、引导定向、阐明、自由定向、整合.范希尔理论符合学生的身心发展规律，具有次序性、进阶性、语言性、适配性等特点，合理运用有利于提高教学效率和学习品质.
范希尔理论在教学中的应用
在传统的圆的标准方程教学中，通常是以教师为主导，直接呈现圆的标准方程的推导过程.学生虽然能获得结果，但缺乏深入探究，导致理解困难，难以将圆的标准方程的探讨方法应用到椭圆、双曲线和抛物线方程的探究中.基于此，本课以范希尔理论为基础，分层次探讨圆的概念，引导学生逐步深入理解，从形状到数量，揭示认识事物的一般性规律.以范希尔理论为指导，笔者认为掌握圆需要经历以下5个层次.
1.初步感知圆
该层次主要是让学生从直观感知出发，从直观形状上认识圆，能通过整体轮廓辨认圆.在该层次教学中，教师要从生活实际出发，让学生从生活中去感知圆，提高学生研究圆的兴趣.
案例1从生活中感知圆.
方案1：让学生列举生活中的圆.
方案2：出示硬币、车轮等图片，让学生寻找圆.
方案3：播放一些简单视频，如摩天轮、风车等.
设计意图对于圆，学生都不陌生，它在生活中随处可见，而且在小学和初中重点学习过，所以高中生清晰理解“圆”的概念，可以轻松列举生活中的圆.对于方案2和方案3，从静、动两方面让学生直观感知圆的大小、位置和状态，为接下来画圆做好准备.
2.对圆概念的初步认识
该层次对应的是范希尔理论的分析水平.qq7xlDK3XpQEp/sES6RTng==该层次旨在让学生理解圆的基本要素和特征，学会画圆，并能用自己的话描述它，为后续抽象圆的概念和推导圆的标准方程打基础.
案例2探究如何画圆.
师：对于圆，大家都不陌生，谁来说一说如何画圆？
在教学中，教师预留时间让学生动手画、动嘴说.从教学反馈来看，大多学生都是用圆规画圆.教师启发学生思考：如果没有圆规，你想如何画圆呢？问题提出后，学生积极思考并提出多种画法，教师总结得到以下方案.
（1）用硬币或瓶盖等圆形物品画圆；
（2）用两支笔和圆规画圆；
（3）借助有圆孔的尺子画圆；
（4）利用画图软件画圆.
师：大家都非常棒，想到了这么多的解决方案，如果给你一根线，你能画圆吗？
教师指导学生分组合作完成任务，并随机指定学生分享其绘制过程.
生1：用一根线可以画圆：先将线的一端固定，再将线的另一端绑上笔，然后将线拉直绕一圈即可画出圆.
设计意图教师鼓励学生用多种方法画圆，充分调动学生的多种感官，逐步建构圆的概念.在教学中，教师有意识地引导学生用线画圆，为后面抽象圆的概念做铺垫.
3.对圆概念的抽象认识
学生已经掌握了圆的构成要素，并能灵活应用各种工具画圆.接下来，此层次引导学生抽象关联，建立形数联系，运用数量关系判断图形是否为圆.
案例3抽象圆的概念.
师：用线作图，你能得到哪些图形？
生2：圆、扇形.
生3：线段.
师：对线有要求吗？能否有弹性呢？
教师预留时间让学生利用有弹性的线画圆.
生4：线不能有弹性，有弹性会变形，这样画出来的图形就不是圆了.
师：很好，结合以上操作说一说，画圆的过程中哪些量是固定的.
生5：圆心的位置和半径的长度.
师：结合上面结论说一说，圆是什么样的点的轨迹呢？
教师预留时间让学生归纳总结，并在关键处进行指导，以此加深学生对“平面内”“定点”“定长”等关键词的理解，使学生能够用准确的数学语言描述圆的定义.
设计意图教师让学生通过动手做，直观感知圆心和半径是固定的，以此为圆的概念的抽象打下坚实基础.在教学中，教师预留时间让学生去归纳总结，并适时地进行指导，以此深化学生的理解.
4.对圆概念的全面把握
经过前面的逐层探究，学生对圆的概念已经