?关于二重积分的计算(3)第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日一、在直角坐标系下计算二重积分则称D为X–型区域.1．先对,后对的二次积分若积分区域可以表示为当时,则的值是以为底,以为曲顶的曲顶柱体体积．第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的由第五章中“平行截面面积为已知的立体体积”的分析过程:第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日我们常将上式写成2.先对,后对的二次积分若积分区域可以表示为则称D为Y–型区域.则其体积可按如下两次积分计算第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日例1.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日例2.计算其中(如图)是抛物线及直线所围成的闭区域．解法1：若将看成是型区域,可表示为.则第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日解法2:若将D看成是型区域D,可表示为得第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日例siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:二重积分的计算法第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日oxy二重积分的计算法第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日例3.化为二次积分,其中为、轴和解：所围区域为型区域,所以所围图形．第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日例4交换下列积分顺序解：如图,积分域由两部分组成:将视为Y–型区域,则第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日例解原式=交换积分次序：二重积分的计算法第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日1990年研究生考题,填空,3分解二重积分的计算法练习交换积分次序ò×=-200d2yxeyy第15页，共32页，星期日，2025年，2月5日例5.求两底半径为R的直交圆柱所围成的立体体积．解：设两柱面方程分别为由对称性,所求立体体积为其在第一卦限部分体积的8倍．第一卦限部分(如图)的底面区域为：曲顶为：所以第16页，共32页，星期日，2025年，2月5日二重积分的计算法2002年研究生考题,7分练习计算二重积分其中解设第17页，共32页，星期日，2025年，2月5日解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习二重积分的计算法第18页，共32页，星期日，2025年，2月5日简便．为此只要我们找到极坐标系下二重积分与直角坐标系下二重积分的关系,就可以在极坐标系下讨论二重积分的计算。若积分区域是与圆域有关的区域或者被积函数为等形式,用极坐标计算二重积分更首先找两坐标系下面积元素的关系。如图,极坐标系下,设积分区域被网格（由一族同心圆(常值)与一族过极点的射线(常值)组成）分割成若干个小区二、在极坐标系下计算二重积分第19页，共32页，星期日，2025年，2月5日域,任取一个（其中介于，之间，介于，之间)，则其中为与的平均值。由此当充分小时，